Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 8^sqrt(x-3)

Gráfico de la función y = 8^sqrt(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _______
        \/ x - 3 
f(x) = 8
f(x)=8x−3f{\left(x \right)} = 8^{\sqrt{x - 3}} 
f = 8^(sqrt(x - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8x−3=08^{\sqrt{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 8^(sqrt(x - 3)).
8−38^{\sqrt{-3}}
Resultado:
f(0)=83if{\left(0 \right)} = 8^{\sqrt{3} i}
Punto:
(0, 8^(i*sqrt(3)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x−3log⁡(8)2x−3=0\frac{8^{\sqrt{x - 3}} \log{\left(8 \right)}}{2 \sqrt{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8x−3(log⁡(8)x−3−1(x−3)32)log⁡(8)4=0\frac{8^{\sqrt{x - 3}} \left(\frac{\log{\left(8 \right)}}{x - 3} - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}\right) \log{\left(8 \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=19log⁡(2)2+3x_{1} = \frac{1}{9 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[19log⁡(2)2+3,∞)\left[\frac{1}{9 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,19log⁡(2)2+3]\left(-\infty, \frac{1}{9 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞8x−3\lim_{x \to -\infty} 8^{\sqrt{x - 3}}
lim⁡x→∞8x−3=∞\lim_{x \to \infty} 8^{\sqrt{x - 3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 8^(sqrt(x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(8x−3x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8^{\sqrt{x - 3}}}{x}\right)
lim⁡x→∞(8x−3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8^{\sqrt{x - 3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
8x−3=8−x−38^{\sqrt{x - 3}} = 8^{\sqrt{- x - 3}}
- No
8x−3=−8−x−38^{\sqrt{x - 3}} = - 8^{\sqrt{- x - 3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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