Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3-x^2-5x+3

Gráfico de la función y = x^3-x^2-5x+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    2          
f(x) = x  - x  - 5*x + 3
f(x)=(−5x+(x3−x2))+3f{\left(x \right)} = \left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3 
f = -5*x + x^3 - x^2 + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−5x+(x3−x2))+3=0\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=13−17+947i33−16317+947i3x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{17 + 9 \sqrt{47} i}}{3} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{17 + 9 \sqrt{47} i}}
Solución numérica
x1=2.51413692933529x_{1} = 2.51413692933529
x2=0.571993268316203x_{2} = 0.571993268316203
x3=−2.08613019765149x_{3} = -2.08613019765149
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - x^2 - 5*x + 3.
((03−02)−0)+3\left(\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0\right) + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−2x−5=03 x^{2} - 2 x - 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=53x_{2} = \frac{5}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 6)

      -94  
(5/3, ----)
       27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[53,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[\frac{5}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1,53]\left[-1, \frac{5}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−1)=02 \left(3 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−5x+(x3−x2))+3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−5x+(x3−x2))+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - x^2 - 5*x + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−5x+(x3−x2))+3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−5x+(x3−x2))+3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−5x+(x3−x2))+3=−x3−x2+5x+3\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3 = - x^{3} - x^{2} + 5 x + 3
- No
(−5x+(x3−x2))+3=x3+x2−5x−3\left(- 5 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 3 = x^{3} + x^{2} - 5 x - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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