Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (- uno -log(x))/(x*log(x))
- ( menos 1 menos logaritmo de (x)) dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x))
- ( menos uno menos logaritmo de (x)) dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x))
- (-1-log(x))/(xlog(x))
- -1-logx/xlogx
- (-1-log(x)) dividir por (x*log(x))
-
Expresiones semejantes
- (-1+log(x))/(x*log(x))
- (1-log(x))/(x*log(x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)+1/x
- log(5)^(x+1)-1
- logx(x^2-x-6)
- log(exp(x)/(exp(x)+exp(x-5)))
- log(0.3)^x
- Logaritmo log
- log(x)+1/x
- log(5)^(x+1)-1
- logx(x^2-x-6)
- log(exp(x)/(exp(x)+exp(x-5)))
- log(0.3)^x
Gráfico de la función y = (-1-log(x))/(x*log(x))
Solución
Ha introducido
[src]
-1 - log(x)
f(x) = -----------
x*log(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}}$$
f = (-log(x) - 1)/((x*log(x)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e^{-1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e^{-1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x} + \frac{\left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x} + \frac{\left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x \right)}} + 1}{x^{3} \log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{\sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{7}{6 \sqrt[3]{\frac{31}{4} + \frac{3 \sqrt{183}}{4}}}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 - log(x))/((x*log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- No
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- No
$$\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{x \log{\left(x \right)}} = \frac{- \log{\left(- x \right)} - 1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico