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log(log(1+x^2))
Trazado el gráfico de la función/ log(log(1+x^2))

Gráfico de la función y = log(log(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   /     2\\
f(x) = log\log\1 + x //
f(x)=log⁡(log⁡(x2+1))f{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} 
f = log(log(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(log⁡(x2+1))=0\log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−−1+ex_{1} = - \sqrt{-1 + e}
x2=−1+ex_{2} = \sqrt{-1 + e}
Solución numérica
x1=1.31083249443209x_{1} = 1.31083249443209
x2=−1.31083249443209x_{2} = -1.31083249443209
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(log(1 + x^2)).
log⁡(log⁡(02+1))\log{\left(\log{\left(0^{2} + 1 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(x2+1)log⁡(x2+1)=0\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x2x2+1−2x2(x2+1)log⁡(x2+1)+1)(x2+1)log⁡(x2+1)=0\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=260321.266724257x_{1} = 260321.266724257
x2=280323.57867928x_{2} = 280323.57867928
x3=300394.871649112x_{3} = 300394.871649112
x4=−312772.143386077x_{4} = -312772.143386077
x5=273648.198202168x_{5} = 273648.198202168
x6=−279289.822834305x_{6} = -279289.822834305
x7=313811.46470774x_{7} = 313811.46470774
x8=−306061.450387191x_{8} = -306061.450387191
x9=307099.71409013x_{9} = 307099.71409013
x10=−272615.64560901x_{10} = -272615.64560901
x11=266980.686763324x_{11} = 266980.686763324
x12=287006.616868831x_{12} = 287006.616868831
x13=−292661.043817724x_{13} = -292661.043817724
x14=−299357.692009569x_{14} = -299357.692009569
x15=−265949.371077569x_{15} = -265949.371077569
x16=−285971.689773474x_{16} = -285971.689773474
x17=293697.111700315x_{17} = 293697.111700315

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(log⁡(x2+1))=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(log⁡(x2+1))=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(log(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(log⁡(x2+1))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(log⁡(x2+1))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(log⁡(x2+1))=log⁡(log⁡(x2+1))\log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}
- Sí
log⁡(log⁡(x2+1))=−log⁡(log⁡(x2+1))\log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)} = - \log{\left(\log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = log(log(1+x^2))
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