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log(3+sin(x))/(5+cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ log(3+sin(x))/(5+cos(x))

Gráfico de la función y = log(3+sin(x))/(5+cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(3 + sin(x))
f(x) = ---------------
          5 + cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5}$$ 
f = log(sin(x) + 3)/(cos(x) + 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3 + sin(x))/(5 + cos(x)).
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(0 \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(0 \right)} + 5}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{6}$$
Punto:
(0, log(3)/6)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5}\right) = \left\langle \frac{\log{\left(2 \right)}}{6}, \frac{\log{\left(4 \right)}}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{\log{\left(2 \right)}}{6}, \frac{\log{\left(4 \right)}}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5}\right) = \left\langle \frac{\log{\left(2 \right)}}{6}, \frac{\log{\left(4 \right)}}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{\log{\left(2 \right)}}{6}, \frac{\log{\left(4 \right)}}{4}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3 + sin(x))/(5 + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5} = \frac{\log{\left(3 - \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 3 \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5} = - \frac{\log{\left(3 - \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(3+sin(x))/(5+cos(x))
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