Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- x*sqrt(nueve -x^ dos)/(x- uno)
- x multiplicar por raíz cuadrada de (9 menos x al cuadrado ) dividir por (x menos 1)
- x multiplicar por raíz cuadrada de (nueve menos x en el grado dos) dividir por (x menos uno)
- x*√(9-x^2)/(x-1)
- x*sqrt(9-x2)/(x-1)
- x*sqrt9-x2/x-1
- x*sqrt(9-x²)/(x-1)
- x*sqrt(9-x en el grado 2)/(x-1)
- xsqrt(9-x^2)/(x-1)
- xsqrt(9-x2)/(x-1)
- xsqrt9-x2/x-1
- xsqrt9-x^2/x-1
- x*sqrt(9-x^2) dividir por (x-1)
-
Expresiones semejantes
- x*sqrt(9-x^2)/(x+1)
- x*sqrt(9+x^2)/(x-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x*x)
- sqrt(x)/(sqrt(x)+1)
- sqrt(x+4)^3
- sqrt(x)^2+5*x
- sqrt(x^2-1)+sqrt(1-x^2)
Gráfico de la función y = x*sqrt(9-x^2)/(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
________
/ 2
x*\/ 9 - x
f(x) = -------------
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}$$
f = (x*sqrt(9 - x^2))/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
______________________________________________________________
/ 2
/ / _________________\ / _________________\
/ | / _____ | | / _____ |
/ | / 227 9*\/ 633 | | / 227 9*\/ 633 |
/ | 3 / --- + --------- | | 3 / --- + --------- |
/ |2 4 \/ 2 2 | |2 4 \/ 2 2 |
/ 9 - |- - ------------------------ - ----------------------| *|- - ------------------------ - ----------------------|
_________________ / |3 _________________ 3 | |3 _________________ 3 |
/ _____ / | / _____ | | / _____ |
/ 227 9*\/ 633 / | / 227 9*\/ 633 | | / 227 9*\/ 633 |
3 / --- + --------- / | 3*3 / --- + --------- | | 3*3 / --- + --------- |
2 4 \/ 2 2 \/ \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 /
(- - ------------------------ - ----------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 _________________ 3 _________________
/ _____ / _____
/ 227 9*\/ 633 / 227 9*\/ 633
3*3 / --- + --------- 3 / --- + ---------
\/ 2 2 1 4 \/ 2 2
- - - ------------------------ - ----------------------
3 _________________ 3
/ _____
/ 227 9*\/ 633
3*3 / --- + ---------
\/ 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(9 - x^2))/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = - \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = - \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar