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Trazado el gráfico de la función/ x*sqrt(9-x^2)/(x-1)

Gráfico de la función y = x*sqrt(9-x^2)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ________
           /      2 
       x*\/  9 - x  
f(x) = -------------
           x - 1
f(x)=x9−x2x−1f{\left(x \right)} = \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} 
f = (x*sqrt(9 - x^2))/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x9−x2x−1=0\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sqrt(9 - x^2))/(x - 1).
09−02−1\frac{0 \sqrt{9 - 0^{2}}}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x9−x2(x−1)2+−x29−x2+9−x2x−1=0- \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−96332+227233−4396332+22723+23x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                     ______________________________________________________________                                                         
                                                                    /                                                            2                                                          
                                                                   /      /                                    _________________\   /                                    _________________\ 
                                                                  /       |                                   /           _____ |   |                                   /           _____ | 
                                                                 /        |                                  /  227   9*\/ 633  |   |                                  /  227   9*\/ 633  | 
                                                                /         |                               3 /   --- + --------- |   |                               3 /   --- + --------- | 
                                                               /          |2              4               \/     2        2     |   |2              4               \/     2        2     | 
                                                              /       9 - |- - ------------------------ - ----------------------|  *|- - ------------------------ - ----------------------| 
                                     _________________       /            |3          _________________             3           |   |3          _________________             3           | 
                                    /           _____       /             |          /           _____                          |   |          /           _____                          | 
                                   /  227   9*\/ 633       /              |         /  227   9*\/ 633                           |   |         /  227   9*\/ 633                           | 
                                3 /   --- + ---------     /               |    3*3 /   --- + ---------                          |   |    3*3 /   --- + ---------                          | 
 2              4               \/     2        2       \/                \      \/     2        2                              /   \      \/     2        2                              / 
(- - ------------------------ - ----------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3          _________________             3                                                                                         _________________                                       
           /           _____                                                                                                       /           _____                                        
          /  227   9*\/ 633                                                                                                       /  227   9*\/ 633                                         
     3*3 /   --- + ---------                                                                                                   3 /   --- + ---------                                        
       \/     2        2                                                                        1              4               \/     2        2                                            
                                                                                              - - - ------------------------ - ----------------------                                       
                                                                                                3          _________________             3                                                  
                                                                                                          /           _____                                                                 
                                                                                                         /  227   9*\/ 633                                                                  
                                                                                                    3*3 /   --- + ---------                                                                 
                                                                                                      \/     2        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−96332+227233−4396332+22723+23x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−96332+227233−4396332+22723+23]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}\right]
Crece en los intervalos
[−96332+227233−4396332+22723+23,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{9 \sqrt{633}}{2} + \frac{227}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x9−x2(x−1)2+x(x2x2−9−3)9−x2+2(x29−x2−9−x2)x−1x−1=0\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−97817+2167493+817+2167493x_{1} = - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2x9−x2(x−1)2+x(x2x2−9−3)9−x2+2(x29−x2−9−x2)x−1x−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2x9−x2(x−1)2+x(x2x2−9−3)9−x2+2(x29−x2−9−x2)x−1x−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 x \sqrt{9 - x^{2}}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} - \sqrt{9 - x^{2}}\right)}{x - 1}}{x - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−97817+2167493+817+2167493]\left(-\infty, - \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}\right]
Convexa en los intervalos
[−97817+2167493+817+2167493,∞)\left[- \frac{9}{7 \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}} + \sqrt[3]{\frac{81}{7} + \frac{216 \sqrt{7}}{49}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x9−x2x−1)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x9−x2x−1)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(9 - x^2))/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(9−x2x−1)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(9−x2x−1)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x9−x2x−1=−x9−x2−x−1\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = - \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}
- No
x9−x2x−1=x9−x2−x−1\frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1} = \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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