Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 7sinx+sin(2x)

Gráfico de la función y = 7sinx+sin(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 7*sin(x) + sin(2*x)
f(x)=7sin⁡(x)+sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = 7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} 
f = 7*sin(x) + sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
7sin⁡(x)+sin⁡(2x)=07 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=59.6902604182061x_{1} = 59.6902604182061
x2=−100.530964914873x_{2} = -100.530964914873
x3=−15.707963267949x_{3} = -15.707963267949
x4=−25.1327412287183x_{4} = -25.1327412287183
x5=84.8230016469244x_{5} = 84.8230016469244
x6=0x_{6} = 0
x7=−75.398223686155x_{7} = -75.398223686155
x8=97.3893722612836x_{8} = 97.3893722612836
x9=−50.2654824574367x_{9} = -50.2654824574367
x10=81.6814089933346x_{10} = 81.6814089933346
x11=4489.33590197981x_{11} = 4489.33590197981
x12=−72.2566310325652x_{12} = -72.2566310325652
x13=91.106186954104x_{13} = 91.106186954104
x14=50.2654824574367x_{14} = 50.2654824574367
x15=−43.9822971502571x_{15} = -43.9822971502571
x16=−37.6991118430775x_{16} = -37.6991118430775
x17=25.1327412287183x_{17} = 25.1327412287183
x18=−65.9734457253857x_{18} = -65.9734457253857
x19=−53.4070751110265x_{19} = -53.4070751110265
x20=−18.8495559215388x_{20} = -18.8495559215388
x21=−59.6902604182061x_{21} = -59.6902604182061
x22=15.707963267949x_{22} = 15.707963267949
x23=9.42477796076938x_{23} = 9.42477796076938
x24=18.8495559215388x_{24} = 18.8495559215388
x25=−56.5486677646163x_{25} = -56.5486677646163
x26=−6.28318530717959x_{26} = -6.28318530717959
x27=−62.8318530717959x_{27} = -62.8318530717959
x28=12.5663706143592x_{28} = 12.5663706143592
x29=56.5486677646163x_{29} = 56.5486677646163
x30=40.8407044966673x_{30} = 40.8407044966673
x31=3.14159265358979x_{31} = 3.14159265358979
x32=−21.9911485751286x_{32} = -21.9911485751286
x33=−84.8230016469244x_{33} = -84.8230016469244
x34=6.28318530717959x_{34} = 6.28318530717959
x35=69.1150383789755x_{35} = 69.1150383789755
x36=72.2566310325652x_{36} = 72.2566310325652
x37=−402.123859659494x_{37} = -402.123859659494
x38=37.6991118430775x_{38} = 37.6991118430775
x39=21.9911485751286x_{39} = 21.9911485751286
x40=47.1238898038469x_{40} = 47.1238898038469
x41=34.5575191894877x_{41} = 34.5575191894877
x42=−97.3893722612836x_{42} = -97.3893722612836
x43=−31.4159265358979x_{43} = -31.4159265358979
x44=100.530964914873x_{44} = 100.530964914873
x45=−47.1238898038469x_{45} = -47.1238898038469
x46=−78.5398163397448x_{46} = -78.5398163397448
x47=28.2743338823081x_{47} = 28.2743338823081
x48=94.2477796076938x_{48} = 94.2477796076938
x49=−40.8407044966673x_{49} = -40.8407044966673
x50=−12.5663706143592x_{50} = -12.5663706143592
x51=−34.5575191894877x_{51} = -34.5575191894877
x52=−28.2743338823081x_{52} = -28.2743338823081
x53=78.5398163397448x_{53} = 78.5398163397448
x54=−94.2477796076938x_{54} = -94.2477796076938
x55=−91.106186954104x_{55} = -91.106186954104
x56=43.9822971502571x_{56} = 43.9822971502571
x57=75.398223686155x_{57} = 75.398223686155
x58=62.8318530717959x_{58} = 62.8318530717959
x59=−3.14159265358979x_{59} = -3.14159265358979
x60=87.9645943005142x_{60} = 87.9645943005142
x61=53.4070751110265x_{61} = 53.4070751110265
x62=−81.6814089933346x_{62} = -81.6814089933346
x63=−87.9645943005142x_{63} = -87.9645943005142
x64=65.9734457253857x_{64} = 65.9734457253857
x65=−69.1150383789755x_{65} = -69.1150383789755
x66=31.4159265358979x_{66} = 31.4159265358979
x67=−9.42477796076938x_{67} = -9.42477796076938
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7*sin(x) + sin(2*x).
7sin⁡(0)+sin⁡(0⋅2)7 \sin{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
7cos⁡(x)+2cos⁡(2x)=07 \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(14−15i4)x_{1} = - i \log{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}
x2=−ilog⁡(14+15i4)x_{2} = - i \log{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /        ____\       /       /        ____\\        /     /        ____\\ 
       |1   I*\/ 15 |       |       |1   I*\/ 15 ||        |     |1   I*\/ 15 || 
(-I*log|- - --------|, - sin|2*I*log|- - --------|| - 7*sin|I*log|- - --------||)
       \4      4    /       \       \4      4    //        \     \4      4    // 

       /        ____\       /       /        ____\\        /     /        ____\\ 
       |1   I*\/ 15 |       |       |1   I*\/ 15 ||        |     |1   I*\/ 15 || 
(-I*log|- + --------|, - sin|2*I*log|- + --------|| - 7*sin|I*log|- + --------||)
       \4      4    /       \       \4      4    //        \     \4      4    //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(15)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(15)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(15),atan⁡(15)]\left[- \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(15)]∪[atan⁡(15),∞)\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(7sin⁡(x)+4sin⁡(2x))=0- (7 \sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=−ilog⁡(−78−15i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{7}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(−78+15i8)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π+atan⁡(157),0]∪[π−atan⁡(157),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(157)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{7} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(7sin⁡(x)+sin⁡(2x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to -\infty}\left(7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
lim⁡x→∞(7sin⁡(x)+sin⁡(2x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to \infty}\left(7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7*sin(x) + sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(7sin⁡(x)+sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(7sin⁡(x)+sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
7sin⁡(x)+sin⁡(2x)=−7sin⁡(x)−sin⁡(2x)7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - 7 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}
- No
7sin⁡(x)+sin⁡(2x)=7sin⁡(x)+sin⁡(2x)7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 7 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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