Sr Examen

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y=x³-4x²+3
Trazado el gráfico de la función/ y=x³-4x²+3

Gráfico de la función y = y=x³-4x²+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2    
f(x) = x  - 4*x  + 3
f(x)=(x3−4x2)+3f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3 
f = x^3 - 4*x^2 + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−4x2)+3=0\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=32−212x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}
x3=32+212x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}
Solución numérica
x1=−0.79128784747792x_{1} = -0.79128784747792
x2=3.79128784747792x_{2} = 3.79128784747792
x3=1x_{3} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 4*x^2 + 3.
(03−4⋅02)+3\left(0^{3} - 4 \cdot 0^{2}\right) + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−8x=03 x^{2} - 8 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=83x_{2} = \frac{8}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)

      -175  
(8/3, -----)
        27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=83x_{1} = \frac{8}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[83,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{8}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,83]\left[0, \frac{8}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−4)=02 \left(3 x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[43,∞)\left[\frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,43]\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−4x2)+3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−4x2)+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 4*x^2 + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−4x2)+3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−4x2)+3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−4x2)+3=−x3−4x2+3\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3 = - x^{3} - 4 x^{2} + 3
- No
(x3−4x2)+3=x3+4x2−3\left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + 3 = x^{3} + 4 x^{2} - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x³-4x²+3
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