Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (sqrt(x+1))/((x+2)(x+3))

Gráfico de la función y = (sqrt(x+1))/((x+2)(x+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _______   
          \/ x + 1    
f(x) = ---------------
       (x + 2)*(x + 3)
f(x)=x+1(x+2)(x+3)f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} 
f = sqrt(x + 1)/(((x + 2)*(x + 3)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.00.2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+1(x+2)(x+3)=0\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1)/(((x + 2)*(x + 3))).
12⋅3\frac{\sqrt{1}}{2 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=16f{\left(0 \right)} = \frac{1}{6}
Punto:
(0, 1/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−5)x+1(x+2)2(x+3)2+1x+21x+32x+1=0\frac{\left(- 2 x - 5\right) \sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}} + \frac{\frac{1}{x + 2} \frac{1}{x + 3}}{2 \sqrt{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32−336x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}
x2=−32+336x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}
Signos de extremos en los puntos:
                       ______________    
                      /         ____     
                     /    1   \/ 33      
         ____       /   - - - ------     
   3   \/ 33      \/      2     6        
(- - - ------, -------------------------)
   2     6     /      ____\ /      ____\ 
               |1   \/ 33 | |3   \/ 33 | 
               |- - ------|*|- - ------| 
               \2     6   / \2     6   / 

                       ______________    
                      /         ____     
                     /    1   \/ 33      
         ____       /   - - + ------     
   3   \/ 33      \/      2     6        
(- - + ------, -------------------------)
   2     6     /      ____\ /      ____\ 
               |1   \/ 33 | |3   \/ 33 | 
               |- + ------|*|- + ------| 
               \2     6   / \2     6   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−32+336x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−32+336]\left(-\infty, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}\right]
Crece en los intervalos
[−32+336,∞)\left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x+1((2x+5)(1x+3+1x+2)−2+2x+5x+3+2x+5x+2)(x+2)(x+3)−2x+5x+1(x+2)(x+3)−14(x+1)32(x+2)(x+3)=0\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 3} + \frac{2 x + 5}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{2 x + 5}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32−−22261653375+61730003−2894502261653375+61730003+852894502261653375+61730003+22261653375+61730003+75+1452+2894502261653375+61730003+22261653375+61730003+752x_{1} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} - \frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}} + \frac{14}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}}{2}
x2=−32+−22261653375+61730003−2894502261653375+61730003+852894502261653375+61730003+22261653375+61730003+75+1452+2894502261653375+61730003+22261653375+61730003+752x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} - \frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}} + \frac{14}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2

lim⁡x→−3−(x+1((2x+5)(1x+3+1x+2)−2+2x+5x+3+2x+5x+2)(x+2)(x+3)−2x+5x+1(x+2)(x+3)−14(x+1)32(x+2)(x+3))=∞i\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 3} + \frac{2 x + 5}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{2 x + 5}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = \infty i
lim⁡x→−3+(x+1((2x+5)(1x+3+1x+2)−2+2x+5x+3+2x+5x+2)(x+2)(x+3)−2x+5x+1(x+2)(x+3)−14(x+1)32(x+2)(x+3))=−∞i\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 3} + \frac{2 x + 5}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{2 x + 5}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−3x_{1} = -3
- es el punto de flexión
lim⁡x→−2−(x+1((2x+5)(1x+3+1x+2)−2+2x+5x+3+2x+5x+2)(x+2)(x+3)−2x+5x+1(x+2)(x+3)−14(x+1)32(x+2)(x+3))=−∞i\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 3} + \frac{2 x + 5}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{2 x + 5}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = - \infty i
lim⁡x→−2+(x+1((2x+5)(1x+3+1x+2)−2+2x+5x+3+2x+5x+2)(x+2)(x+3)−2x+5x+1(x+2)(x+3)−14(x+1)32(x+2)(x+3))=∞i\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 3} + \frac{2 x + 5}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{2 x + 5}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=−2x_{2} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−32+−22261653375+61730003−2894502261653375+61730003+852894502261653375+61730003+22261653375+61730003+75+1452+2894502261653375+61730003+22261653375+61730003+752,∞)\left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} - \frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}} + \frac{14}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−32+−22261653375+61730003−2894502261653375+61730003+852894502261653375+61730003+22261653375+61730003+75+1452+2894502261653375+61730003+22261653375+61730003+752]\left(-\infty, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} - \frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}} + \frac{14}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{289}{450 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{26165}}{3375} + \frac{617}{3000}} + \frac{7}{5}}}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1(x+2)(x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+1(x+2)(x+3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1)/(((x + 2)*(x + 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x+2)(x+3)x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x+2)(x+3)x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+1(x+2)(x+3)=1−x(2−x)(3−x)\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} = \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}
- No
x+1(x+2)(x+3)=−1−x(2−x)(3−x)\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)} = - \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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