Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (x- uno /x)*(x+ uno /x)
- (x menos 1 dividir por x) multiplicar por (x más 1 dividir por x)
- (x menos uno dividir por x) multiplicar por (x más uno dividir por x)
- (x-1/x)(x+1/x)
- x-1/xx+1/x
- (x-1 dividir por x)*(x+1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- (x-1/x)*(x-1/x)
- (x+1/x)*(x+1/x)
Gráfico de la función y = (x-1/x)*(x+1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1\ / 1\
f(x) = |x - -|*|x + -|
\ x/ \ x/
$$f{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)$$
f = (x - 1/x)*(x + 1/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right) + \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right) + \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt[4]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt[4]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1/x)*(x + 1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
- No
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = - \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
- No
$$\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = - \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar