Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-1/x)*(x+1/x)

Gráfico de la función y = (x-1/x)*(x+1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /    1\ /    1\
f(x) = |x - -|*|x + -|
       \    x/ \    x/
f(x)=(x−1x)(x+1x)f{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) 
f = (x - 1/x)*(x + 1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1x)(x+1x)=0\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1/x)*(x + 1/x).
(−1)100\frac{\left(-1\right) \frac{1}{0}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−1x2)(x−1x)+(1+1x2)(x+1x)=0\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right) + \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((1−1x2)(1+1x2)+x−1xx3−x+1xx3)=02 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34x_{1} = - \sqrt[4]{3}
x2=34x_{2} = \sqrt[4]{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2((1−1x2)(1+1x2)+x−1xx3−x+1xx3))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2((1−1x2)(1+1x2)+x−1xx3−x+1xx3))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{x - \frac{1}{x}}{x^{3}} - \frac{x + \frac{1}{x}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−34]∪[34,∞)\left(-\infty, - \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt[4]{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−34,34]\left[- \sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1x)(x+1x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1x)(x+1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1/x)*(x + 1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1x)(x+1x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1x)(x+1x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1x)(x+1x)=(−x−1x)(−x+1x)\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)
- No
(x−1x)(x+1x)=−(−x−1x)(−x+1x)\left(x - \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) = - \left(- x - \frac{1}{x}\right) \left(- x + \frac{1}{x}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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