Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x-1)/(x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x-1)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______
       \/ x - 1 
f(x) = ---------
         x - 1
f(x)=x−1x−1f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} 
f = sqrt(x - 1)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1x−1=0\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 1)/(x - 1).
−1−1\frac{\sqrt{-1}}{-1}
Resultado:
f(0)=−if{\left(0 \right)} = - i
Punto:
(0, -i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12(x−1)32=0- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
34(x−1)52=0\frac{3}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{5}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−1x−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 1)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xx−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xx−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1x−1=1−x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{- x - 1}}
- No
x−1x−1=−1−x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} = - \frac{1}{\sqrt{- x - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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