Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{1}{\left(x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x - 7} \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 4\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{x} - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 4\right) \sqrt{x - 7}}}{4 \left(\sqrt{x} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}} - \frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{162} + \frac{811127}{5832 \sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}{2} + \frac{121}{36}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 16$$
$$\lim_{x \to 16^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x - 7} \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 4\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{x} - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 4\right) \sqrt{x - 7}}}{4 \left(\sqrt{x} - 4\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 16^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x - 7} \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 4\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{x} - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 4\right) \sqrt{x - 7}}}{4 \left(\sqrt{x} - 4\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 16$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}} - \frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{162} + \frac{811127}{5832 \sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}{2} + \frac{121}{36}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}} - \frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{162} + \frac{811127}{5832 \sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{60025}{2592 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}} + \frac{2293}{324} + 2 \sqrt[3]{\frac{1471813 \sqrt{5849}}{331776} + \frac{1019870369}{2985984}}}}{2} + \frac{121}{36}, \infty\right)$$