Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\left(x + 3\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -86.3937979737193$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$
$$x_{3} = -54.9778714378214$$
$$x_{4} = 89.5353906273091$$
$$x_{5} = 32.9867228626928$$
$$x_{6} = -17.2787595947439$$
$$x_{7} = 45.553093477052$$
$$x_{8} = 64.4026493985908$$
$$x_{9} = 83.2522053201295$$
$$x_{10} = -29.845130209103$$
$$x_{11} = -92.6769832808989$$
$$x_{12} = 70.6858347057703$$
$$x_{13} = -48.6946861306418$$
$$x_{14} = -42.4115008234622$$
$$x_{15} = -67.5442420521806$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = 20.4203522483337$$
$$x_{18} = -61.261056745001$$
$$x_{19} = -10.9955742875643$$
$$x_{20} = -36.1283155162826$$
$$x_{21} = 14.1371669411541$$
$$x_{22} = 51.8362787842316$$
$$x_{23} = 39.2699081698724$$
$$x_{24} = -4.71238898038469$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = 76.9690200129499$$
$$x_{27} = 58.1194640914112$$
$$x_{28} = -80.1106126665397$$
$$x_{29} = -73.8274273593601$$
$$x_{30} = 7.85398163397448$$
$$x_{31} = 26.7035375555132$$
$$x_{32} = -98.9601685880785$$
Signos de extremos en los puntos:
(-86.39379797371932, 0)
(1.5707963267948966, 0)
(-54.977871437821385, 0)
(89.53539062730911, 0)
(32.98672286269283, 0)
(-17.278759594743864, 0)
(45.553093477052, 0)
(64.40264939859077, 0)
(83.25220532012952, 0)
(-29.845130209103036, 0)
(-92.6769832808989, 0)
(70.68583470577035, 0)
(-48.6946861306418, 0)
(-42.411500823462205, 0)
(-67.54424205218055, 0)
(-23.56194490192345, 0)
(20.420352248333657, 0)
(-61.26105674500097, 0)
(-10.995574287564276, 0)
(-36.12831551628262, 0)
(14.137166941154069, 0)
(51.83627878423159, 0)
(39.269908169872416, 0)
(-4.71238898038469, 0)
(95.81857593448869, 0)
(76.96902001294994, 0)
(58.119464091411174, 0)
(-80.11061266653972, 0)
(-73.82742735936014, 0)
(7.853981633974483, 0)
(26.703537555513243, 0)
(-98.96016858807849, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -86.3937979737193$$
$$x_{2} = -54.9778714378214$$
$$x_{3} = -17.2787595947439$$
$$x_{4} = -29.845130209103$$
$$x_{5} = -92.6769832808989$$
$$x_{6} = -48.6946861306418$$
$$x_{7} = -42.4115008234622$$
$$x_{8} = -67.5442420521806$$
$$x_{9} = -23.5619449019235$$
$$x_{10} = -61.261056745001$$
$$x_{11} = -10.9955742875643$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = -4.71238898038469$$
$$x_{14} = -80.1106126665397$$
$$x_{15} = -73.8274273593601$$
$$x_{16} = -98.9601685880785$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{16} = 1.5707963267949$$
$$x_{16} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = 32.9867228626928$$
$$x_{16} = 45.553093477052$$
$$x_{16} = 64.4026493985908$$
$$x_{16} = 83.2522053201295$$
$$x_{16} = 70.6858347057703$$
$$x_{16} = 20.4203522483337$$
$$x_{16} = 14.1371669411541$$
$$x_{16} = 51.8362787842316$$
$$x_{16} = 39.2699081698724$$
$$x_{16} = 95.8185759344887$$
$$x_{16} = 76.9690200129499$$
$$x_{16} = 58.1194640914112$$
$$x_{16} = 7.85398163397448$$
$$x_{16} = 26.7035375555132$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-4.71238898038469, 1.5707963267949\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.9601685880785\right]$$