Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(1/3)^x
-
-x^2-x+6
-
(x^4)/((x^3)-1)
-
x^3-6x+5
- Derivada de:
-
(2*x+1)/(x^2+2)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x+ uno)/(x^ dos + dos)
- (2 multiplicar por x más 1) dividir por (x al cuadrado más 2)
- (dos multiplicar por x más uno) dividir por (x en el grado dos más dos)
- (2*x+1)/(x2+2)
- 2*x+1/x2+2
- (2*x+1)/(x²+2)
- (2*x+1)/(x en el grado 2+2)
- (2x+1)/(x^2+2)
- (2x+1)/(x2+2)
- 2x+1/x2+2
- 2x+1/x^2+2
- (2*x+1) dividir por (x^2+2)
-
Expresiones semejantes
- (2*x+1)/(x^2-2)
- (2*x-1)/(x^2+2)
Gráfico de la función y = (2*x+1)/(x^2+2)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 1
f(x) = -------
2
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2}$$
f = (2*x + 1)/(x^2 + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -1/2)
(1, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/(x^2 + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico