Sr Examen

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x*exp^(-x/2)
Trazado el gráfico de la función/ x*exp^(-x/2)

Gráfico de la función y = x*exp^(-x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x 
          ---
           2 
f(x) = x*E
f(x)=e(−1)x2xf{\left(x \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x 
f = E^((-x)/2)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e(−1)x2x=0e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=127.032867683997x_{1} = 127.032867683997
x2=117.125411922138x_{2} = 117.125411922138
x3=85.6439180738776x_{3} = 85.6439180738776
x4=125.04984591054x_{4} = 125.04984591054
x5=97.3918261051326x_{5} = 97.3918261051326
x6=81.7545134822841x_{6} = 81.7545134822841
x7=105.268425321898x_{7} = 105.268425321898
x8=68.3386317231503x_{8} = 68.3386317231503
x9=101.326683040058x_{9} = 101.326683040058
x10=77.5601992651609x_{10} = 77.5601992651609
x11=95.427382421153x_{11} = 95.427382421153
x12=79.816716308387x_{12} = 79.816716308387
x13=107.241540269193x_{13} = 107.241540269193
x14=119.105269897573x_{14} = 119.105269897573
x15=103.296764962881x_{15} = 103.296764962881
x16=140.930847885457x_{16} = 140.930847885457
x17=132.985816431156x_{17} = 132.985816431156
x18=77.8843596511898x_{18} = 77.8843596511898
x19=138.943848589893x_{19} = 138.943848589893
x20=72.1286573308603x_{20} = 72.1286573308603
x21=75.9582278615682x_{21} = 75.9582278615682
x22=93.4651859652441x_{22} = 93.4651859652441
x23=121.08599800789x_{23} = 121.08599800789
x24=136.957325310529x_{24} = 136.957325310529
x25=142.918298209055x_{25} = 142.918298209055
x26=70.2278341185476x_{26} = 70.2278341185476
x27=87.5945090232618x_{27} = 87.5945090232618
x28=123.067540388527x_{28} = 123.067540388527
x29=111.191701047147x_{29} = 111.191701047147
x30=64.605232251426x_{30} = 64.605232251426
x31=74.0392717219567x_{31} = 74.0392717219567
x32=83.6970973965431x_{32} = 83.6970973965431
x33=109.215998787545x_{33} = 109.215998787545
x34=115.146485250814x_{34} = 115.146485250814
x35=66.4634017838308x_{35} = 66.4634017838308
x36=0x_{36} = 0
x37=134.971304934036x_{37} = 134.971304934036
x38=129.016562623174x_{38} = 129.016562623174
x39=89.5484716110773x_{39} = 89.5484716110773
x40=113.168557011776x_{40} = 113.168557011776
x41=131.000891064693x_{41} = 131.000891064693
x42=99.3583181793708x_{42} = 99.3583181793708
x43=91.5054628829366x_{43} = 91.5054628829366
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^((-x)/2).
0e(−1)020 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e(−1)x2−xe(−1)x22=0e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - \frac{x e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
(2, 2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x4−1)e−x2=0\left(\frac{x}{4} - 1\right) e^{- \frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e(−1)x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e(−1)x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^((-x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e(−1)x2=∞\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e(−1)x2=0\lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e(−1)x2x=−xex2e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x = - x e^{\frac{x}{2}}
- No
e(−1)x2x=xex2e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} x = x e^{\frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*exp^(-x/2)
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