Sr Examen

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sin(x)+(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)+(x/2)

Gráfico de la función y = sin(x)+(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = sin(x) + -
                2
f(x)=x2+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} 
f = x/2 + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+sin⁡(x)=0\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + x/2.
sin⁡(0)+02\sin{\left(0 \right)} + \frac{0}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+12=0\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
         ___      
 2*pi  \/ 3    pi 
(----, ----- + --)
  3      2     3  

           ___        
 4*pi    \/ 3    2*pi 
(----, - ----- + ----)
  3        2      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4π3x_{1} = \frac{4 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,2π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2π3,4π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + x/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+sin⁡(x)x)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x2+sin⁡(x)x)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+sin⁡(x)=−x2−sin⁡(x)\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} - \sin{\left(x \right)}
- No
x2+sin⁡(x)=x2+sin⁡(x)\frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)+(x/2)
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