Sr Examen

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sin(x^x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x^x)

Gráfico de la función y = sin(x^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / x\
f(x) = sin\x /
f(x)=sin⁡(xx)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{x} \right)} 
f = sin(x^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(xx)=0\sin{\left(x^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=eW(log⁡(π))x_{1} = e^{W\left(\log{\left(\pi \right)}\right)}
Solución numérica
x1=−237.603721311115x_{1} = -237.603721311115
x2=2.25732891666178x_{2} = 2.25732891666178
x3=−590.084556375402x_{3} = -590.084556375402
x4=−119.723396125911x_{4} = -119.723396125911
x5=−2091.84753872593x_{5} = -2091.84753872593
x6=−357.880905332706x_{6} = -357.880905332706
x7=−42711.3786421703x_{7} = -42711.3786421703
x8=−7561.1782295353x_{8} = -7561.1782295353
x9=−32.7541445038432x_{9} = -32.7541445038432
x10=−1173.46800599657x_{10} = -1173.46800599657
x11=−168.729810470764x_{11} = -168.729810470764
x12=−3318.21620096464x_{12} = -3318.21620096464
x13=−368.839915475308x_{13} = -368.839915475308
x14=−13.3255415576356x_{14} = -13.3255415576356
x15=−102.891314530237x_{15} = -102.891314530237
x16=−139.376545729233x_{16} = -139.376545729233
x17=4.11732815441147x_{17} = 4.11732815441147
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx(log⁡(x)+1)cos⁡(xx)=0x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
x2=eW(log⁡(π2))x_{2} = e^{W\left(\log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)}
Signos de extremos en los puntos:
         /   -1\ 
  -1     | -e  | 
(e , sin\e    /)

                 /              /   /pi\\\ 
                 |             W|log|--||| 
   /   /pi\\     |  /   /pi\\   \   \2 //| 
  W|log|--||     | W|log|--||*e          | 
   \   \2 //     |  \   \2 //            | 
(e         , sin\e                      /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Puntos máximos de la función:
x1=eW(log⁡(π2))x_{1} = e^{W\left(\log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)}
Decrece en los intervalos
[e−1,eW(log⁡(π2))]\left[e^{-1}, e^{W\left(\log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,e−1]∪[eW(log⁡(π2)),∞)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{W\left(\log{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(xx)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(xx)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(xx)=sin⁡((−x)−x)\sin{\left(x^{x} \right)} = \sin{\left(\left(- x\right)^{- x} \right)}
- No
sin⁡(xx)=−sin⁡((−x)−x)\sin{\left(x^{x} \right)} = - \sin{\left(\left(- x\right)^{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x^x)
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