Sr Examen

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sin(x)*e^x
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)*e^x

Gráfico de la función y = sin(x)*e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               x
f(x) = sin(x)*E
f(x)=exsin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)} 
f = E^x*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exsin⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=12.5663706143592x_{1} = 12.5663706143592
x2=−97.3893722612836x_{2} = -97.3893722612836
x3=−43.40963181907x_{3} = -43.40963181907
x4=−59.6902604182061x_{4} = -59.6902604182061
x5=−65.9734457253857x_{5} = -65.9734457253857
x6=0x_{6} = 0
x7=−31.4159265358979x_{7} = -31.4159265358979
x8=−50.2654824574367x_{8} = -50.2654824574367
x9=−21.9911485751286x_{9} = -21.9911485751286
x10=6.28318530717959x_{10} = 6.28318530717959
x11=−34.5575191894877x_{11} = -34.5575191894877
x12=−94.2477796076938x_{12} = -94.2477796076938
x13=−69.1150383789755x_{13} = -69.1150383789755
x14=−15.707963267949x_{14} = -15.707963267949
x15=21.9911485751286x_{15} = 21.9911485751286
x16=−40.8407044966673x_{16} = -40.8407044966673
x17=9.42477796076938x_{17} = 9.42477796076938
x18=−87.9645943005142x_{18} = -87.9645943005142
x19=34.5575191894877x_{19} = 34.5575191894877
x20=−62.8318530717959x_{20} = -62.8318530717959
x21=−18.8495559215388x_{21} = -18.8495559215388
x22=−28.2743338823081x_{22} = -28.2743338823081
x23=−56.5486677646163x_{23} = -56.5486677646163
x24=−53.4070751110265x_{24} = -53.4070751110265
x25=−37.6991118430775x_{25} = -37.6991118430775
x26=−25.1327412287183x_{26} = -25.1327412287183
x27=−100.530964914873x_{27} = -100.530964914873
x28=−9.42477796076938x_{28} = -9.42477796076938
x29=−91.106186954104x_{29} = -91.106186954104
x30=−75.398223686155x_{30} = -75.398223686155
x31=18.8495559215388x_{31} = 18.8495559215388
x32=−6.28318530717959x_{32} = -6.28318530717959
x33=25.1327412287183x_{33} = 25.1327412287183
x34=28.2743338823081x_{34} = 28.2743338823081
x35=−43.9822971502571x_{35} = -43.9822971502571
x36=−47.1238898038469x_{36} = -47.1238898038469
x37=−3.14159265358979x_{37} = -3.14159265358979
x38=31.4159265358979x_{38} = 31.4159265358979
x39=−12.5663706143592x_{39} = -12.5663706143592
x40=−72.2566310325652x_{40} = -72.2566310325652
x41=−84.8230016469244x_{41} = -84.8230016469244
x42=−81.6814089933346x_{42} = -81.6814089933346
x43=−78.5398163397448x_{43} = -78.5398163397448
x44=15.707963267949x_{44} = 15.707963267949
x45=3.14159265358979x_{45} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*E^x.
e0sin⁡(0)e^{0} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exsin⁡(x)+excos⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
               -pi   
               ----  
          ___   4    
 -pi   -\/ 2 *e      
(----, -------------)
  4          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2excos⁡(x)=02 e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exsin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exsin⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exsin⁡(x)=−e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = - e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
exsin⁡(x)=e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)*e^x
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