Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x+2/(x-3)^2

Gráfico de la función y = x+2/(x-3)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2    
f(x) = x + --------
                  2
           (x - 3)
f(x)=x+2(x−3)2f{\left(x \right)} = x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}} 
f = x + 2/(x - 3)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+2(x−3)2=0x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−273+5433−3273+543+2x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}} + 2
Solución numérica
x1=−0.195823345445647x_{1} = -0.195823345445647
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + 2/(x - 3)^2.
2(−3)2\frac{2}{\left(-3\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=29f{\left(0 \right)} = \frac{2}{9}
Punto:
(0, 2/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(6−2x)(x−3)4+1=0\frac{2 \left(6 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{4}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=223+3x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} + 3
Signos de extremos en los puntos:
                  2/3 
      2/3      3*2    
(3 + 2  , 3 + ------)
                 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=223+3x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} + 3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[223+3,∞)\left[2^{\frac{2}{3}} + 3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,223+3]\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}} + 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(x−3)4=0\frac{12}{\left(x - 3\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2(x−3)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+2(x−3)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + 2/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+2(x−3)2x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x+2(x−3)2x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+2(x−3)2=−x+2(−x−3)2x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}} = - x + \frac{2}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
x+2(x−3)2=x−2(−x−3)2x + \frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}} = x - \frac{2}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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