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Trazado el gráfico de la función/ (4x^2-3x-1)/(2x^2+3x-5)

Gráfico de la función y = (4x^2-3x-1)/(2x^2+3x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       4*x  - 3*x - 1
f(x) = --------------
          2          
       2*x  + 3*x - 5
f(x)=(4x2−3x)−1(2x2+3x)−5f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5} 
f = (4*x^2 - 3*x - 1)/(2*x^2 + 3*x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2.5x_{1} = -2.5
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x2−3x)−1(2x2+3x)−5=0\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−14x_{1} = - \frac{1}{4}
Solución numérica
x1=−0.25x_{1} = -0.25
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x^2 - 3*x - 1)/(2*x^2 + 3*x - 5).
−1+(4⋅02−0)−5+(2⋅02+0⋅3)\frac{-1 + \left(4 \cdot 0^{2} - 0\right)}{-5 + \left(2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3\right)}
Resultado:
f(0)=15f{\left(0 \right)} = \frac{1}{5}
Punto:
(0, 1/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−4x−3)((4x2−3x)−1)((2x2+3x)−5)2+8x−3(2x2+3x)−5=0\frac{\left(- 4 x - 3\right) \left(\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1\right)}{\left(\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5\right)^{2}} + \frac{8 x - 3}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(4x+3)(8x−3)2x2+3x−5−((4x+3)22x2+3x−5−2)(−4x2+3x+1)2x2+3x−5+4)2x2+3x−5=0\frac{2 \left(- \frac{\left(4 x + 3\right) \left(8 x - 3\right)}{2 x^{2} + 3 x - 5} - \frac{\left(\frac{\left(4 x + 3\right)^{2}}{2 x^{2} + 3 x - 5} - 2\right) \left(- 4 x^{2} + 3 x + 1\right)}{2 x^{2} + 3 x - 5} + 4\right)}{2 x^{2} + 3 x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2.5x_{1} = -2.5
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−3x)−1(2x2+3x)−5)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞((4x2−3x)−1(2x2+3x)−5)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 - 3*x - 1)/(2*x^2 + 3*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−3x)−1x((2x2+3x)−5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{x \left(\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((4x2−3x)−1x((2x2+3x)−5))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{x \left(\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x2−3x)−1(2x2+3x)−5=4x2+3x−12x2−3x−5\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5} = \frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 3 x - 5}
- No
(4x2−3x)−1(2x2+3x)−5=−4x2+3x−12x2−3x−5\frac{\left(4 x^{2} - 3 x\right) - 1}{\left(2 x^{2} + 3 x\right) - 5} = - \frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 3 x - 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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