Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x^2*exp((-x^2)/2)

Gráfico de la función y = x^2*exp((-x^2)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2 
           -x  
           ----
        2   2  
f(x) = x *e
f(x)=x2e(−1)x22f{\left(x \right)} = x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} 
f = x^2*exp((-x^2)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2e(−1)x22=0x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−84.233515462777x_{1} = -84.233515462777
x2=−76.2580369226715x_{2} = -76.2580369226715
x3=−74.2649925696628x_{3} = -74.2649925696628
x4=17.4693120700985x_{4} = 17.4693120700985
x5=84.4910310342411x_{5} = 84.4910310342411
x6=68.5473688939739x_{6} = 68.5473688939739
x7=−64.306260393132x_{7} = -64.306260393132
x8=−36.5424387353935x_{8} = -36.5424387353935
x9=12.1183577351768x_{9} = 12.1183577351768
x10=−68.2883035767724x_{10} = -68.2883035767724
x11=−78.2514366600317x_{11} = -78.2514366600317
x12=−24.8090249355594x_{12} = -24.8090249355594
x13=9.06652017453117x_{13} = 9.06652017453117
x14=34.8397414473011x_{14} = 34.8397414473011
x15=50.6533323930163x_{15} = 50.6533323930163
x16=30.9165687545196x_{16} = 30.9165687545196
x17=−22.8810893113491x_{17} = -22.8810893113491
x18=−50.3915709270886x_{18} = -50.3915709270886
x19=86.485453527483x_{19} = 86.485453527483
x20=−88.2229216044568x_{20} = -88.2229216044568
x21=64.565815751859x_{21} = 64.565815751859
x22=88.480128064275x_{22} = 88.480128064275
x23=96.4610335376948x_{23} = 96.4610335376948
x24=−17.2013014598307x_{24} = -17.2013014598307
x25=−92.2132464576643x_{25} = -92.2132464576643
x26=−70.2800911828606x_{26} = -70.2800911828606
x27=98.4567445663x_{27} = 98.4567445663
x28=−90.217976819981x_{28} = -90.217976819981
x29=94.4655040742351x_{29} = 94.4655040742351
x30=−15.3656189494156x_{30} = -15.3656189494156
x31=−13.5799110917667x_{31} = -13.5799110917667
x32=−11.8688246365829x_{32} = -11.8688246365829
x33=15.6308234631634x_{33} = 15.6308234631634
x34=−52.3765924457147x_{34} = -52.3765924457147
x35=−98.2002110503947x_{35} = -98.2002110503947
x36=−56.3498219161482x_{36} = -56.3498219161482
x37=−94.2087168776978x_{37} = -94.2087168776978
x38=−8.8686457829632x_{38} = -8.8686457829632
x39=48.6699442672841x_{39} = 48.6699442672841
x40=92.4701679439436x_{40} = 92.4701679439436
x41=−44.4445964883351x_{41} = -44.4445964883351
x42=−60.3265978638017x_{42} = -60.3265978638017
x43=82.4968788905927x_{43} = 82.4968788905927
x44=0x_{44} = 0
x45=−66.2970112729679x_{45} = -66.2970112729679
x46=13.8396182346976x_{46} = 13.8396182346976
x47=76.5162562540987x_{47} = 76.5162562540987
x48=32.8758195532475x_{48} = 32.8758195532475
x49=−86.2280957137399x_{49} = -86.2280957137399
x50=−30.6495105174893x_{50} = -30.6495105174893
x51=−28.69521984848x_{51} = -28.69521984848
x52=−54.3627150720295x_{52} = -54.3627150720295
x53=−42.4656022328175x_{53} = -42.4656022328175
x54=100.4526263274x_{54} = 100.4526263274
x55=−72.2723330568224x_{55} = -72.2723330568224
x56=23.1505235911306x_{56} = 23.1505235911306
x57=38.7787260200014x_{57} = 38.7787260200014
x58=60.5866975140723x_{58} = 60.5866975140723
x59=54.6237530878524x_{59} = 54.6237530878524
x60=28.9629532180358x_{60} = 28.9629532180358
x61=−38.5141647888281x_{61} = -38.5141647888281
x62=72.5309551055807x_{62} = 72.5309551055807
x63=10.5051140853827x_{63} = 10.5051140853827
x64=−20.9671739663507x_{64} = -20.9671739663507
x65=40.7527016123012x_{65} = 40.7527016123012
x66=19.3410005816815x_{66} = 19.3410005816815
x67=−58.3378120479305x_{67} = -58.3378120479305
x68=74.5234085374585x_{68} = 74.5234085374585
x69=−32.6094271362329x_{69} = -32.6094271362329
x70=−96.2043755722257x_{70} = -96.2043755722257
x71=−19.0717437947996x_{71} = -19.0717437947996
x72=58.5982069356129x_{72} = 58.5982069356129
x73=−10.2740070145856x_{73} = -10.2740070145856
x74=90.4750379533035x_{74} = 90.4750379533035
x75=42.729109523365x_{75} = 42.729109523365
x76=80.503017217176x_{76} = 80.503017217176
x77=36.8075776466164x_{77} = 36.8075776466164
x78=−62.3161029586585x_{78} = -62.3161029586585
x79=−80.2451652539442x_{79} = -80.2451652539442
x80=62.57592315819x_{80} = 62.57592315819
x81=21.2367757236031x_{81} = 21.2367757236031
x82=27.0162200711938x_{82} = 27.0162200711938
x83=46.6879784011062x_{83} = 46.6879784011062
x84=25.078010085226x_{84} = 25.078010085226
x85=−40.4886839479988x_{85} = -40.4886839479988
x86=56.6105291200014x_{86} = 56.6105291200014
x87=78.509468179491x_{87} = 78.509468179491
x88=−48.4077866501731x_{88} = -48.4077866501731
x89=52.6379813194846x_{89} = 52.6379813194846
x90=70.5389294345099x_{90} = 70.5389294345099
x91=−26.7478287813023x_{91} = -26.7478287813023
x92=−34.5739911807289x_{92} = -34.5739911807289
x93=66.5563153294764x_{93} = 66.5563153294764
x94=−100.196212737123x_{94} = -100.196212737123
x95=−82.2391987499905x_{95} = -82.2391987499905
x96=44.707624968236x_{96} = 44.707624968236
x97=−46.4253991254806x_{97} = -46.4253991254806
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*exp((-x^2)/2).
02e(−1)0220^{2} e^{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3e(−1)x22+2xe(−1)x22=0- x^{3} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + 2 x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

    ___     -1 
(-\/ 2, 2*e  )

   ___     -1 
(\/ 2, 2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x2(x2−1)−4x2+2)e−x22=0\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) - 4 x^{2} + 2\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52−172x_{1} = - \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}
x2=52−172x_{2} = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}
x3=−172+52x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}}
x4=172+52x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[172+52,∞)\left[\sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−52−172]∪[52−172,172+52]\left(-\infty, - \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2e(−1)x22)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x2e(−1)x22)=0\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*exp((-x^2)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xe(−1)x22)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xe(−1)x22)=0\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2e(−1)x22=x2e(−1)x22x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- Sí
x2e(−1)x22=−x2e(−1)x22x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = - x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- No
es decir, función
es
par
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