El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: x2e2(−1)x2=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en x^2*exp((-x^2)/2). 02e2(−1)02 Resultado: f(0)=0 Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −x3e2(−1)x2+2xe2(−1)x2=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 x2=−2 x3=2 Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___ -1
(-\/ 2, 2*e )
___ -1
(\/ 2, 2*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=0 Puntos máximos de la función: x1=−2 x1=2 Decrece en los intervalos (−∞,−2]∪[0,∞) Crece en los intervalos (−∞,0]∪[2,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada (x2(x2−1)−4x2+2)e−2x2=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−25−217 x2=25−217 x3=−217+25 x4=217+25
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos 217+25,∞ Convexa en los intervalos −∞,−25−217∪25−217,217+25
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(x2e2(−1)x2)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim(x2e2(−1)x2)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*exp((-x^2)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(xe2(−1)x2)=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(xe2(−1)x2)=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: x2e2(−1)x2=x2e2(−1)x2 - Sí x2e2(−1)x2=−x2e2(−1)x2 - No es decir, función es par