Sr Examen

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xe^(-2x)
Trazado el gráfico de la función/ xe^(-2x)

Gráfico de la función y = xe^(-2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -2*x
f(x) = x*E
f(x)=e−2xxf{\left(x \right)} = e^{- 2 x} x 
f = E^(-2*x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−2xx=0e^{- 2 x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=68.7593230252746x_{1} = 68.7593230252746
x2=78.7477425643428x_{2} = 78.7477425643428
x3=21.045566517455x_{3} = 21.045566517455
x4=108.726571333614x_{4} = 108.726571333614
x5=62.7682441747585x_{5} = 62.7682441747585
x6=46.8050290067642x_{6} = 46.8050290067642
x7=22.9985568426417x_{7} = 22.9985568426417
x8=102.729751891747x_{8} = 102.729751891747
x9=34.8600686649078x_{9} = 34.8600686649078
x10=92.7360338021631x_{10} = 92.7360338021631
x11=24.9623739768123x_{11} = 24.9623739768123
x12=56.7792932548714x_{12} = 56.7792932548714
x13=86.740552644349x_{13} = 86.740552644349
x14=42.8193067000071x_{14} = 42.8193067000071
x15=98.7321015813734x_{15} = 98.7321015813734
x16=15.3512835816058x_{16} = 15.3512835816058
x17=44.8117934734258x_{17} = 44.8117934734258
x18=100.730901861277x_{18} = 100.730901861277
x19=106.727589310741x_{19} = 106.727589310741
x20=19.1094084394257x_{20} = 19.1094084394257
x21=54.7835866004374x_{21} = 54.7835866004374
x22=80.7458001354877x_{22} = 80.7458001354877
x23=94.7346637830271x_{23} = 94.7346637830271
x24=0x_{24} = 0
x25=32.8741817192005x_{25} = 32.8741817192005
x26=58.7753284772699x_{26} = 58.7753284772699
x27=50.7933377610053x_{27} = 50.7933377610053
x28=88.7389732689306x_{28} = 88.7389732689306
x29=28.9101563450688x_{29} = 28.9101563450688
x30=84.7422125786474x_{30} = 84.7422125786474
x31=30.8906584686652x_{31} = 30.8906584686652
x32=72.7542720741067x_{32} = 72.7542720741067
x33=26.9336061561789x_{33} = 26.9336061561789
x34=104.728648638889x_{34} = 104.728648638889
x35=48.7989062666094x_{35} = 48.7989062666094
x36=36.8478410712821x_{36} = 36.8478410712821
x37=70.7567190665171x_{37} = 70.7567190665171
x38=17.2019322374056x_{38} = 17.2019322374056
x39=52.7882512606652x_{39} = 52.7882512606652
x40=74.7519682501478x_{40} = 74.7519682501478
x41=96.733354354677x_{41} = 96.733354354677
x42=60.7716558547915x_{42} = 60.7716558547915
x43=90.7374687213724x_{43} = 90.7374687213724
x44=76.7497953700779x_{44} = 76.7497953700779
x45=64.7650665265292x_{45} = 64.7650665265292
x46=40.8277010740674x_{46} = 40.8277010740674
x47=110.725592331161x_{47} = 110.725592331161
x48=38.8371423706663x_{48} = 38.8371423706663
x49=82.743959404134x_{49} = 82.743959404134
x50=66.7620995836363x_{50} = 66.7620995836363
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(-2*x).
0e−00 e^{- 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xe−2x+e−2x=0- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
      e   
(1/2, ---)
       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x−1)e−2x=04 \left(x - 1\right) e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−2xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 2 x} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(-2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−2x=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- 2 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e−2x=0\lim_{x \to \infty} e^{- 2 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−2xx=−xe2xe^{- 2 x} x = - x e^{2 x}
- No
e−2xx=xe2xe^{- 2 x} x = x e^{2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = xe^(-2x)
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