Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- e^{- x} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{e^{- x}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 85.1842346063611$$
$$x_{2} = 109.183104778778$$
$$x_{3} = 119.182844946427$$
$$x_{4} = 43.1974831119063$$
$$x_{5} = 99.1834611670237$$
$$x_{6} = 31.2351226666798$$
$$x_{7} = 39.2034159974866$$
$$x_{8} = 49.1923507345192$$
$$x_{9} = 69.1859426201322$$
$$x_{10} = 111.183046352654$$
$$x_{11} = 51.1911976041242$$
$$x_{12} = 55.1893964070374$$
$$x_{13} = 33.2222867338296$$
$$x_{14} = 73.1853822604484$$
$$x_{15} = 53.1902249534802$$
$$x_{16} = 59.1880678461169$$
$$x_{17} = 105.183233349247$$
$$x_{18} = 95.1836418842928$$
$$x_{19} = 0.747211955161568$$
$$x_{20} = 61.1875301292092$$
$$x_{21} = 75.1851428155636$$
$$x_{22} = 29.2562563384761$$
$$x_{23} = 37.2078062507627$$
$$x_{24} = 57.1886844308322$$
$$x_{25} = 63.1870582237151$$
$$x_{26} = 107.183166998612$$
$$x_{27} = 117.182890949296$$
$$x_{28} = 101.183379988955$$
$$x_{29} = 113.182991416959$$
$$x_{30} = 79.1847288825771$$
$$x_{31} = 115.182939698215$$
$$x_{32} = 93.1837426872226$$
$$x_{33} = 45.1954125148498$$
$$x_{34} = 35.2137841865788$$
$$x_{35} = 67.1862721161642$$
$$x_{36} = 81.1845492662939$$
$$x_{37} = 89.1839689919496$$
$$x_{38} = 77.1849259468806$$
$$x_{39} = 71.1856475607887$$
$$x_{40} = 87.1840963402224$$
$$x_{41} = 65.1866416947261$$
$$x_{42} = 41.2000823161778$$
$$x_{43} = 103.183304206226$$
$$x_{44} = 121.182801486579$$
$$x_{45} = 47.1937332876317$$
$$x_{46} = 83.1843850841488$$
$$x_{47} = 97.1835482676259$$
$$x_{48} = 91.1838514355446$$
Signos de extremos en los puntos:
(85.18423460636112, 1.57695437100074e-37)
(109.18310477877782, 5.96980781732506e-48)
(119.1828449464274, 2.71232680163858e-52)
(43.19748311190632, 2.68685651682442e-19)
(99.18346116702368, 1.31369195546394e-43)
(31.235122666679775, 4.18734272870461e-14)
(39.2034159974866, 1.45607533060368e-17)
(49.192350734519174, 6.70651816500195e-22)
(69.18594262013221, 1.39647240863825e-30)
(111.18304635265427, 8.08058069428484e-49)
(51.1911976041242, 9.09140760125111e-23)
(55.189396407037385, 1.66967263109774e-24)
(33.22228673382964, 5.74729812743755e-15)
(73.18538226044839, 2.5604606491747e-32)
(53.19022495348018, 1.23216819702701e-23)
(59.18806784611694, 3.06459115345288e-26)
(105.18323334924699, 3.25825880344179e-46)
(95.18364188429283, 7.16927243245884e-42)
(0.7472119551615676, 0.303970708865008)
(61.18753012920924, 4.15117785655748e-27)
(75.18514281556361, 3.46684531364579e-33)
(29.25625633847611, 3.02509006665195e-13)
(37.20780625076267, 1.07024139185157e-16)
(57.18868443083221, 2.26218781435376e-25)
(63.18705822371507, 5.62252963853095e-28)
(107.18316699861187, 4.41036737746924e-47)
(117.1828909492963, 2.00387762921248e-51)
(101.18337998895493, 1.77826006606962e-44)
(113.1829914169586, 1.09375903513552e-49)
(79.18472888257706, 6.35511714007681e-35)
(115.18293969821491, 1.48046382513151e-50)
(93.18374268722258, 5.2961162811258e-41)
(45.195412514849764, 3.6462100835775e-20)
(35.21378418657885, 7.85319792249962e-16)
(67.1862721161642, 1.03123629659521e-29)
(81.18454926629394, 8.60397789339621e-36)
(89.18396899194956, 2.89003544325537e-39)
(77.18492594688057, 4.69392069394134e-34)
(71.18564756078865, 1.89097070863853e-31)
(87.18409634022241, 2.13483938416633e-38)
(65.18664169472613, 7.61481256317454e-29)
(41.20008231617777, 1.97874462061717e-18)
(103.18330420622623, 2.4070910178928e-45)
(121.18280148657853, 3.67122001460912e-53)
(47.193733287631716, 4.94589088973195e-21)
(83.18438508414884, 1.16483423430511e-36)
(97.18354826762585, 9.70480791709028e-43)
(91.18385143554461, 3.91231421182066e-40)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{48} = 0.747211955161568$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.747211955161568\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0.747211955161568, \infty\right)$$