Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- arctg((dos)/(dos x^(2)- uno))
- arctg((2) dividir por (2x en el grado (2) menos 1))
- arctg((dos) dividir por (dos x en el grado (2) menos uno))
- arctg((2)/(2x(2)-1))
- arctg2/2x2-1
- arctg2/2x^2-1
- arctg((2) dividir por (2x^(2)-1))
-
Expresiones semejantes
- arctg((2)/(2x^(2)+1))
-
Expresiones con funciones
- arctg
- arctg(4x-1)
- arctg(x+5)+ln(x-3)
- arctg((20*x)/(1+300*x^2))
- arctg((3x^2-4x-2)/(x(x-1)(x-2)))
- arctg((sinx+cosx)/sqrt(2))
Gráfico de la función y = arctg((2)/(2x^(2)-1))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
f(x) = atan|--------|
| 2 |
\2*x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}$$
f = atan(2/(2*x^2 - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -atan(2))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - \frac{32 x^{2}}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}} - 1\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(2/(2*x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{2 x^{2} - 1} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par