Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg((sinx+cosx)/sqrt(2))

Gráfico de la función y = arctg((sinx+cosx)/sqrt(2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /sin(x) + cos(x)\
f(x) = atan|---------------|
           |       ___     |
           \     \/ 2      /
f(x)=atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} 
f = atan((sin(x) + cos(x))/sqrt(2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−57.3340659280137x_{1} = -57.3340659280137
x2=−79.3252145031423x_{2} = -79.3252145031423
x3=49.4800842940392x_{3} = 49.4800842940392
x4=−13.3517687777566x_{4} = -13.3517687777566
x5=8.63937979737193x_{5} = 8.63937979737193
x6=−85.6083998103219x_{6} = -85.6083998103219
x7=−44.7676953136546x_{7} = -44.7676953136546
x8=58.9048622548086x_{8} = 58.9048622548086
x9=40.0553063332699x_{9} = 40.0553063332699
x10=−69.9004365423729x_{10} = -69.9004365423729
x11=−73.0420291959627x_{11} = -73.0420291959627
x12=−63.6172512351933x_{12} = -63.6172512351933
x13=1397.22333268406x_{13} = 1397.22333268406
x14=55.7632696012188x_{14} = 55.7632696012188
x15=−54.1924732744239x_{15} = -54.1924732744239
x16=−82.4668071567321x_{16} = -82.4668071567321
x17=84.037603483527x_{17} = 84.037603483527
x18=14.9225651045515x_{18} = 14.9225651045515
x19=71.4712328691678x_{19} = 71.4712328691678
x20=−32.2013246992954x_{20} = -32.2013246992954
x21=21.2057504117311x_{21} = 21.2057504117311
x22=87.1791961371168x_{22} = 87.1791961371168
x23=2.35619449019234x_{23} = 2.35619449019234
x24=−16.4933614313464x_{24} = -16.4933614313464
x25=24.3473430653209x_{25} = 24.3473430653209
x26=52.621676947629x_{26} = 52.621676947629
x27=−7.06858347057703x_{27} = -7.06858347057703
x28=90.3207887907066x_{28} = 90.3207887907066
x29=46.3384916404494x_{29} = 46.3384916404494
x30=74.6128255227576x_{30} = 74.6128255227576
x31=11.7809724509617x_{31} = 11.7809724509617
x32=−60.4756585816035x_{32} = -60.4756585816035
x33=−5046.18319982861x_{33} = -5046.18319982861
x34=−10.2101761241668x_{34} = -10.2101761241668
x35=−22.776546738526x_{35} = -22.776546738526
x36=237.975643509427x_{36} = 237.975643509427
x37=62.0464549083984x_{37} = 62.0464549083984
x38=18.0641577581413x_{38} = 18.0641577581413
x39=−66.7588438887831x_{39} = -66.7588438887831
x40=−29.0597320457056x_{40} = -29.0597320457056
x41=36.9137136796801x_{41} = 36.9137136796801
x42=77.7544181763474x_{42} = 77.7544181763474
x43=−47.9092879672443x_{43} = -47.9092879672443
x44=27.4889357189107x_{44} = 27.4889357189107
x45=−25.9181393921158x_{45} = -25.9181393921158
x46=−41.6261026600648x_{46} = -41.6261026600648
x47=−0.785398163397448x_{47} = -0.785398163397448
x48=30.6305283725005x_{48} = 30.6305283725005
x49=5.49778714378214x_{49} = 5.49778714378214
x50=−38.484510006475x_{50} = -38.484510006475
x51=33.7721210260903x_{51} = 33.7721210260903
x52=−88.7499924639117x_{52} = -88.7499924639117
x53=−76.1836218495525x_{53} = -76.1836218495525
x54=−95.0331777710912x_{54} = -95.0331777710912
x55=−35.3429173528852x_{55} = -35.3429173528852
x56=68.329640215578x_{56} = 68.329640215578
x57=93.4623814442964x_{57} = 93.4623814442964
x58=−19.6349540849362x_{58} = -19.6349540849362
x59=−98.174770424681x_{59} = -98.174770424681
x60=43.1968989868597x_{60} = 43.1968989868597
x61=96.6039740978861x_{61} = 96.6039740978861
x62=−3.92699081698724x_{62} = -3.92699081698724
x63=80.8960108299372x_{63} = 80.8960108299372
x64=−51.0508806208341x_{64} = -51.0508806208341
x65=65.1880475619882x_{65} = 65.1880475619882
x66=99.7455667514759x_{66} = 99.7455667514759
x67=−91.8915851175014x_{67} = -91.8915851175014
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((sin(x) + cos(x))/sqrt(2)).
atan⁡(sin⁡(0)+cos⁡(0)2)\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}}{\sqrt{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=atan⁡(22)f{\left(0 \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
Punto:
(0, atan(sqrt(2)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(−sin⁡(x)+cos⁡(x))2((sin⁡(x)+cos⁡(x))22+1)=0\frac{\sqrt{2} \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
             /        ___\ 
 -3*pi       |  ___ \/ 2 | 
(-----, -atan|\/ 2 *-----|)
   4         \        2  / 

         /        ___\ 
 pi      |  ___ \/ 2 | 
(--, atan|\/ 2 *-----|)
 4       \        2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−3π4,π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2+2)(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))2+2=0- \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)=atan⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)=atan⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((sin(x) + cos(x))/sqrt(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)=atan⁡(22(−sin⁡(x)+cos⁡(x)))\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
atan⁡(sin⁡(x)+cos⁡(x)2)=−atan⁡(22(−sin⁡(x)+cos⁡(x)))\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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