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arctg((sinx-cosx)/(sqrt(2)))
Trazado el gráfico de la función/ arctg((sinx-cosx)/(sqrt(2)))

Gráfico de la función y = arctg((sinx-cosx)/(sqrt(2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /sin(x) - cos(x)\
f(x) = atan|---------------|
           |       ___     |
           \     \/ 2      /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}$$ 
f = atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)).
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}}{\sqrt{2}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Punto:
(0, -atan(sqrt(2)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{2} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
            /        ___\ 
 -pi        |  ___ \/ 2 | 
(----, -atan|\/ 2 *-----|)
  4         \        2  / 

           /        ___\ 
 3*pi      |  ___ \/ 2 | 
(----, atan|\/ 2 *-----|)
  4        \        2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arctg((sinx-cosx)/(sqrt(2)))
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