Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(sqrt(x^2-1))

Gráfico de la función y = arctg(sqrt(x^2-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   ________\
           |  /  2     |
f(x) = atan\\/  x  - 1 /
f(x)=atan⁡(x2−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} 
f = atan(sqrt(x^2 - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2−1)=0\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(sqrt(x^2 - 1)).
atan⁡(−1+02)\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=∞if{\left(0 \right)} = \infty i
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xx2−1=0\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1x2−1+1x2x2−1=0- \frac{\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x2−1)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x2−1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(sqrt(x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x2−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2−1)=atan⁡(x2−1)\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)}
- Sí
atan⁡(x2−1)=−atan⁡(x2−1)\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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