Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx^2-cosx

Gráfico de la función y = sinx^2-cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = sin (x) - cos(x)
f(x)=sin⁡2(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2 - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)−cos⁡(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(−2+5)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}
x2=2atan⁡(−2+5)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}
Solución numérica
x1=−51.1700393517391x_{1} = -51.1700393517391
x2=−44.8868540445595x_{2} = -44.8868540445595
x3=−13.4709275086616x_{3} = -13.4709275086616
x4=−80.7768520990322x_{4} = -80.7768520990322
x5=30.5113696415956x_{5} = 30.5113696415956
x6=82.585965887637x_{6} = 82.585965887637
x7=−11.6618137200568x_{7} = -11.6618137200568
x8=5.37862841287721x_{8} = 5.37862841287721
x9=−63.7364099660982x_{9} = -63.7364099660982
x10=55.6441108703139x_{10} = 55.6441108703139
x11=−82.585965887637x_{11} = -82.585965887637
x12=43.0777402559547x_{12} = 43.0777402559547
x13=−36.7945549487751x_{13} = -36.7945549487751
x14=2141.66163285394x_{14} = 2141.66163285394
x15=36.7945549487751x_{15} = 36.7945549487751
x16=13.4709275086616x_{16} = 13.4709275086616
x17=−26.0372981230207x_{17} = -26.0372981230207
x18=101.435521809176x_{18} = 101.435521809176
x19=49.3609255631343x_{19} = 49.3609255631343
x20=−200.157372935444x_{20} = -200.157372935444
x21=−24.228184334416x_{21} = -24.228184334416
x22=−70.0195952732778x_{22} = -70.0195952732778
x23=−32.3204834302003x_{23} = -32.3204834302003
x24=26.0372981230207x_{24} = 26.0372981230207
x25=−95.1523365019962x_{25} = -95.1523365019962
x26=70.0195952732778x_{26} = 70.0195952732778
x27=99.626408020571x_{27} = 99.626408020571
x28=−88.8691511948166x_{28} = -88.8691511948166
x29=68.2104814846731x_{29} = 68.2104814846731
x30=19.7541128158411x_{30} = 19.7541128158411
x31=−17.9449990272364x_{31} = -17.9449990272364
x32=−57.4532246589187x_{32} = -57.4532246589187
x33=95.1523365019962x_{33} = 95.1523365019962
x34=17.9449990272364x_{34} = 17.9449990272364
x35=−0.904556894302381x_{35} = -0.904556894302381
x36=−7.18774220148197x_{36} = -7.18774220148197
x37=−49.3609255631343x_{37} = -49.3609255631343
x38=−38.6036687373799x_{38} = -38.6036687373799
x39=51.1700393517391x_{39} = 51.1700393517391
x40=−61.9272961774935x_{40} = -61.9272961774935
x41=61.9272961774935x_{41} = 61.9272961774935
x42=24.228184334416x_{42} = 24.228184334416
x43=88.8691511948166x_{43} = 88.8691511948166
x44=−1004.40509225443x_{44} = -1004.40509225443
x45=38.6036687373799x_{45} = 38.6036687373799
x46=76.3027805804574x_{46} = 76.3027805804574
x47=−19.7541128158411x_{47} = -19.7541128158411
x48=187.591002321085x_{48} = 187.591002321085
x49=−74.4936667918527x_{49} = -74.4936667918527
x50=−76.3027805804574x_{50} = -76.3027805804574
x51=74.4936667918527x_{51} = 74.4936667918527
x52=−5.37862841287721x_{52} = -5.37862841287721
x53=57.4532246589187x_{53} = 57.4532246589187
x54=−93.3432227133914x_{54} = -93.3432227133914
x55=−139.134633652253x_{55} = -139.134633652253
x56=−55.6441108703139x_{56} = -55.6441108703139
x57=63.7364099660982x_{57} = 63.7364099660982
x58=80.7768520990322x_{58} = 80.7768520990322
x59=−99.626408020571x_{59} = -99.626408020571
x60=87.0600374062118x_{60} = 87.0600374062118
x61=7.18774220148197x_{61} = 7.18774220148197
x62=11.6618137200568x_{62} = 11.6618137200568
x63=−68.2104814846731x_{63} = -68.2104814846731
x64=32.3204834302003x_{64} = 32.3204834302003
x65=−30.5113696415956x_{65} = -30.5113696415956
x66=44.8868540445595x_{66} = 44.8868540445595
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 - cos(x).
−cos⁡(0)+sin⁡2(0)- \cos{\left(0 \right)} + \sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

 -2*pi      
(-----, 5/4)
   3        

 2*pi      
(----, 5/4)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(6−33)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}
x2=2atan⁡(6−33)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}
x3=−2atan⁡(33+6)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}
x4=2atan⁡(33+6)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(33+6),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(6−33)]∪[2atan⁡(6−33),2atan⁡(33+6)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6 - \sqrt{33}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)−cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)−cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)−cos⁡(x)=sin⁡2(x)−cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- Sí
sin⁡2(x)−cos⁡(x)=−sin⁡2(x)+cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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