Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
(x-3)^2
x^2+x+1
x^3-3*x^2+4
x^2+1/x
x^4/e^x
Gráfico de la función y = x^4/e^x
Solución
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 116.02075104835$$
$$x_{2} = 66.8569921245111$$
$$x_{3} = 82.4517982577909$$
$$x_{4} = 47.972396360433$$
$$x_{5} = 44.4039722855805$$
$$x_{6} = 61.084838084679$$
$$x_{7} = 57.2747449075389$$
$$x_{8} = 74.6264908386027$$
$$x_{9} = 63.0022841352056$$
$$x_{10} = 68.7927248589347$$
$$x_{11} = 46.1724670727619$$
$$x_{12} = 78.5335190727288$$
$$x_{13} = 59.1752620727982$$
$$x_{14} = 94.256841035927$$
$$x_{15} = 53.5069870587241$$
$$x_{16} = 118.004329640053$$
$$x_{17} = 112.055642623119$$
$$x_{18} = 119.988538699805$$
$$x_{19} = 114.037841461369$$
$$x_{20} = 76.5784579732318$$
$$x_{21} = 49.797674137975$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = 121.973342595893$$
$$x_{24} = 100.180213261041$$
$$x_{25} = 64.9266117639408$$
$$x_{26} = 55.3847297818114$$
$$x_{27} = 86.3794004430773$$
$$x_{28} = 98.2045123429924$$
$$x_{29} = 92.2850666999783$$
$$x_{30} = 90.3148149316341$$
$$x_{31} = 108.093562295815$$
$$x_{32} = 102.157042175857$$
$$x_{33} = 42.6751925918041$$
$$x_{34} = 58.9215034340449$$
$$x_{35} = 80.4913841059288$$
$$x_{36} = 72.6779492381579$$
$$x_{37} = 96.2300238919975$$
$$x_{38} = 84.4145367308178$$
$$x_{39} = 104.134922290665$$
$$x_{40} = 51.6437140044003$$
$$x_{41} = 106.113783629493$$
$$x_{42} = 88.3462124470094$$
$$x_{43} = 70.7332140201021$$
$$x_{44} = 110.074199825913$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 116.02075104835$$
$$x_{2} = 66.8569921245111$$
$$x_{3} = 82.4517982577909$$
$$x_{4} = 47.972396360433$$
$$x_{5} = 44.4039722855805$$
$$x_{6} = 61.084838084679$$
$$x_{7} = 57.2747449075389$$
$$x_{8} = 74.6264908386027$$
$$x_{9} = 63.0022841352056$$
$$x_{10} = 68.7927248589347$$
$$x_{11} = 46.1724670727619$$
$$x_{12} = 78.5335190727288$$
$$x_{13} = 59.1752620727982$$
$$x_{14} = 94.256841035927$$
$$x_{15} = 53.5069870587241$$
$$x_{16} = 118.004329640053$$
$$x_{17} = 112.055642623119$$
$$x_{18} = 119.988538699805$$
$$x_{19} = 114.037841461369$$
$$x_{20} = 76.5784579732318$$
$$x_{21} = 49.797674137975$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = 121.973342595893$$
$$x_{24} = 100.180213261041$$
$$x_{25} = 64.9266117639408$$
$$x_{26} = 55.3847297818114$$
$$x_{27} = 86.3794004430773$$
$$x_{28} = 98.2045123429924$$
$$x_{29} = 92.2850666999783$$
$$x_{30} = 90.3148149316341$$
$$x_{31} = 108.093562295815$$
$$x_{32} = 102.157042175857$$
$$x_{33} = 42.6751925918041$$
$$x_{34} = 58.9215034340449$$
$$x_{35} = 80.4913841059288$$
$$x_{36} = 72.6779492381579$$
$$x_{37} = 96.2300238919975$$
$$x_{38} = 84.4145367308178$$
$$x_{39} = 104.134922290665$$
$$x_{40} = 51.6437140044003$$
$$x_{41} = 106.113783629493$$
$$x_{42} = 88.3462124470094$$
$$x_{43} = 70.7332140201021$$
$$x_{44} = 110.074199825913$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
-4 (4, 256*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x^{2} \left(x^{2} - 8 x + 12\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 6$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, 6\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x^{2} \left(x^{2} - 8 x + 12\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 6$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, 6\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{e^{x}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{e^{x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{e^{x}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{e^{x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} e^{- x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} e^{- x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} e^{- x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} e^{- x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = x^{4} e^{x}$$
- No
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = - x^{4} e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = x^{4} e^{x}$$
- No
$$\frac{x^{4}}{e^{x}} = - x^{4} e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico