Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(arctg(x)+(pi/2))

Gráfico de la función y = 1/(arctg(x)+(pi/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
                 pi
       atan(x) + --
                 2
f(x)=1atan⁡(x)+π2f{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} 
f = 1/(atan(x) + pi/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1atan⁡(x)+π2=0\frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(atan(x) + pi/2).
1atan⁡(0)+π2\frac{1}{\operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{2}}
Resultado:
f(0)=2πf{\left(0 \right)} = \frac{2}{\pi}
Punto:
(0, 2/pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x2+1)(atan⁡(x)+π2)2=0- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right) \left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(x+22atan⁡(x)+π)(x2+1)2(2atan⁡(x)+π)2=0\frac{8 \left(x + \frac{2}{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \pi}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \pi\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=28754.3486265505x_{1} = 28754.3486265505
x2=−12657.2225478479x_{2} = -12657.2225478479
x3=16891.1926901624x_{3} = 16891.1926901624
x4=−20282.3600074129x_{4} = -20282.3600074129
x5=25364.5631594798x_{5} = 25364.5631594798
x6=−41469.6683857836x_{6} = -41469.6683857836
x7=12655.8242115464x_{7} = 12655.8242115464
x8=−24519.4348556179x_{8} = -24519.4348556179
x9=−8423.61941261028x_{9} = -8423.61941261028
x10=10115.6450889512x_{10} = 10115.6450889512
x11=−37231.9519687477x_{11} = -37231.9519687477
x12=−30451.7821468341x_{12} = -30451.7821468341
x13=34686.7681213428x_{13} = 34686.7681213428
x14=−17740.3321341501x_{14} = -17740.3321341501
x15=20280.2760920969x_{15} = 20280.2760920969
x16=13502.767067175x_{16} = 13502.767067175
x17=21127.6130431943x_{17} = 21127.6130431943
x18=−40622.12001517x_{18} = -40622.12001517
x19=5886.87462042377x_{19} = 5886.87462042377
x20=27906.888001733x_{20} = 27906.888001733
x21=18585.6743708779x_{21} = 18585.6743708779
x22=−19434.9945644213x_{22} = -19434.9945644213
x23=14349.7867391723x_{23} = 14349.7867391723
x24=21974.9703839581x_{24} = 21974.9703839581
x25=−26214.3504677512x_{25} = -26214.3504677512
x26=−21129.7446080108x_{26} = -21129.7446080108
x27=30449.29366817x_{27} = 30449.29366817
x28=−16045.7850834651x_{28} = -16045.7850834651
x29=10962.2386650908x_{29} = 10962.2386650908
x30=−32994.313843763x_{30} = -32994.313843763
x31=−27909.3016558074x_{31} = -27909.3016558074
x32=42314.4965008092x_{32} = 42314.4965008092
x33=22822.3458670828x_{33} = 22822.3458670828
x34=−25366.8877689486x_{34} = -25366.8877689486
x35=9269.23163757049x_{35} = 9269.23163757049
x36=−21977.1461498646x_{36} = -21977.1461498646
x37=35534.2785526896x_{37} = 35534.2785526896
x38=−38927.030572453x_{38} = -38927.030572453
x39=−18587.6508995784x_{39} = -18587.6508995784
x40=38076.8347417047x_{40} = 38076.8347417047
x41=−39774.5740255486x_{41} = -39774.5740255486
x42=−16893.0420157026x_{42} = -16893.0420157026
x43=32991.7616105404x_{43} = 32991.7616105404
x44=−14351.394295001x_{44} = -14351.394295001
x45=32144.266282157x_{45} = 32144.266282157
x46=−27061.8220326151x_{46} = -27061.8220326151
x47=7577.17940720332x_{47} = 7577.17940720332
x48=23669.7375638046x_{48} = 23669.7375638046
x49=−42317.2189943234x_{49} = -42317.2189943234
x50=−36384.4172049544x_{50} = -36384.4172049544
x51=19432.9621651009x_{51} = 19432.9621651009
x52=36381.7933252147x_{52} = 36381.7933252147
x53=29601.81740722x_{53} = 29601.81740722
x54=41466.9583066409x_{54} = 41466.9583066409
x55=8423.05115905678x_{55} = 8423.05115905678
x56=16044.0085756018x_{56} = 16044.0085756018
x57=−13504.2758866198x_{57} = -13504.2758866198
x58=27059.436292213x_{58} = 27059.436292213
x59=−29604.2823087185x_{59} = -29604.2823087185
x60=−31299.2876392079x_{60} = -31299.2876392079
x61=39771.8903106203x_{61} = 39771.8903106203
x62=−35536.8857551629x_{62} = -35536.8857551629
x63=−34689.3578622899x_{63} = -34689.3578622899
x64=31296.7768064349x_{64} = 31296.7768064349
x65=−22824.562745786x_{65} = -22824.562745786
x66=−38079.4898252528x_{66} = -38079.4898252528
x67=33839.2623550061x_{67} = 33839.2623550061
x68=−9270.01685112758x_{68} = -9270.01685112758
x69=−10116.6164840426x_{69} = -10116.6164840426
x70=38924.3608719413x_{70} = 38924.3608719413
x71=−33841.8337935861x_{71} = -33841.8337935861
x72=17738.4164040682x_{72} = 17738.4164040682
x73=−32146.79833861x_{73} = -32146.79833861
x74=15196.8705804651x_{74} = 15196.8705804651
x75=37229.3121443805x_{75} = 37229.3121443805
x76=−28756.7886248155x_{76} = -28756.7886248155
x77=40619.422851893x_{77} = 40619.422851893
x78=−10963.3714382072x_{78} = -10963.3714382072
x79=6731.72895197993x_{79} = 6731.72895197993
x80=11808.9743759408x_{80} = 11808.9743759408
x81=26211.9943547424x_{81} = 26211.9943547424
x82=−23671.9927788352x_{82} = -23671.9927788352
x83=24517.1438093957x_{83} = 24517.1438093957
x84=−11810.2482859875x_{84} = -11810.2482859875
x85=−15198.5668889958x_{85} = -15198.5668889958

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−9270.01685112758,∞)\left[-9270.01685112758, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−42317.2189943234]\left(-\infty, -42317.2189943234\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1atan⁡(x)+π2=∞\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞1atan⁡(x)+π2=1π\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1πy = \frac{1}{\pi}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(atan(x) + pi/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(atan⁡(x)+π2))=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(1x(atan⁡(x)+π2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1atan⁡(x)+π2=1−atan⁡(x)+π2\frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}
- No
1atan⁡(x)+π2=−1−atan⁡(x)+π2\frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}} = - \frac{1}{- \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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