Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- arctg(x/sinx)
- arctg(x dividir por seno de x)
- arctgx/sinx
- arctg(x dividir por sinx)
-
Expresiones con funciones
- arctg
- arctg(0.2*x)+0.27
- arctgcox
- arctg(2−x)
- arctgh(0.857*x/(1-x^2))
- arctg(x^2/(1-x))
Gráfico de la función y = arctg(x/sinx)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
f(x) = atan|------|
\sin(x)/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
f = atan(x/sin(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20.3713029592876$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -7.72525183693771$$
$$x_{4} = -42.3879135681319$$
$$x_{5} = -67.5294347771441$$
$$x_{6} = -73.8138806006806$$
$$x_{7} = 6.31689619156083 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{8} = 111.517572246131$$
$$x_{9} = 70.6716857116195$$
$$x_{10} = -92.6661922776228$$
$$x_{11} = -95.8081387868617$$
$$x_{12} = 10.9041216594289$$
$$x_{13} = 26.6660542588127$$
$$x_{14} = -10.9041216594289$$
$$x_{15} = 1.19664026863252 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{16} = 80.0981286289451$$
$$x_{17} = -36.1006222443756$$
$$x_{18} = 83.2401924707234$$
$$x_{19} = 48.6741442319544$$
$$x_{20} = -14.0661939128315$$
$$x_{21} = 14.0661939128315$$
$$x_{22} = -29.811598790893$$
$$x_{23} = 23.519452498689$$
$$x_{24} = 76.9560263103312$$
$$x_{25} = 67.5294347771441$$
$$x_{26} = -17.2207552719308$$
$$x_{27} = 39.2444323611642$$
$$x_{28} = -23.519452498689$$
$$x_{29} = 17.2207552719308$$
$$x_{30} = 29.811598790893$$
$$x_{31} = -48.6741442319544$$
$$x_{32} = -86.3822220347287$$
$$x_{33} = 89.5242209304172$$
$$x_{34} = 61.2447302603744$$
$$x_{35} = -39.2444323611642$$
$$x_{36} = -76.9560263103312$$
$$x_{37} = -58.1022547544956$$
$$x_{38} = -54.9596782878889$$
$$x_{39} = 54.9596782878889$$
$$x_{40} = 95.8081387868617$$
$$x_{41} = 92.6661922776228$$
$$x_{42} = -70.6716857116195$$
$$x_{43} = 86.3822220347287$$
$$x_{44} = -26.6660542588127$$
$$x_{45} = -20.3713029592876$$
$$x_{46} = -89.5242209304172$$
$$x_{47} = -83.2401924707234$$
$$x_{48} = 45.5311340139913$$
$$x_{49} = 36.1006222443756$$
$$x_{50} = -7.43532772224002 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{51} = -32.9563890398225$$
$$x_{52} = 4.49340945790906$$
$$x_{53} = 98.9500628243319$$
$$x_{54} = 7.72525183693771$$
$$x_{55} = -98.9500628243319$$
$$x_{56} = -444.533110935535$$
$$x_{57} = -61.2447302603744$$
$$x_{58} = 42.3879135681319$$
$$x_{59} = 51.8169824872797$$
$$x_{60} = -114.659410595023$$
$$x_{61} = -51.8169824872797$$
$$x_{62} = -108.375719651675$$
$$x_{63} = -80.0981286289451$$
$$x_{64} = 58.1022547544956$$
$$x_{65} = 32.9563890398225$$
$$x_{66} = 64.3871195905574$$
$$x_{67} = 347.143107573282$$
$$x_{68} = -45.5311340139913$$
$$x_{69} = -64.3871195905574$$
$$x_{70} = 73.8138806006806$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 20.3713029592876$$
$$x_{2} = -7.72525183693771$$
$$x_{3} = 6.31689619156083 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{4} = 70.6716857116195$$
$$x_{5} = -95.8081387868617$$
$$x_{6} = 26.6660542588127$$
$$x_{7} = 1.19664026863252 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{8} = 83.2401924707234$$
$$x_{9} = -14.0661939128315$$
$$x_{10} = 14.0661939128315$$
$$x_{11} = 76.9560263103312$$
$$x_{12} = 39.2444323611642$$
$$x_{13} = 89.5242209304172$$
$$x_{14} = -39.2444323611642$$
$$x_{15} = -76.9560263103312$$
$$x_{16} = -58.1022547544956$$
$$x_{17} = 95.8081387868617$$
$$x_{18} = -70.6716857116195$$
$$x_{19} = -26.6660542588127$$
$$x_{20} = -20.3713029592876$$
$$x_{21} = -89.5242209304172$$
$$x_{22} = -83.2401924707234$$
$$x_{23} = 45.5311340139913$$
$$x_{24} = -7.43532772224002 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{25} = -32.9563890398225$$
$$x_{26} = 7.72525183693771$$
$$x_{27} = 51.8169824872797$$
$$x_{28} = -114.659410595023$$
$$x_{29} = -51.8169824872797$$
$$x_{30} = -108.375719651675$$
$$x_{31} = 58.1022547544956$$
$$x_{32} = 32.9563890398225$$
$$x_{33} = 64.3871195905574$$
$$x_{34} = 347.143107573282$$
$$x_{35} = -45.5311340139913$$
$$x_{36} = -64.3871195905574$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{36} = -4.49340945790906$$
$$x_{36} = -42.3879135681319$$
$$x_{36} = -67.5294347771441$$
$$x_{36} = -73.8138806006806$$
$$x_{36} = 111.517572246131$$
$$x_{36} = -92.6661922776228$$
$$x_{36} = 10.9041216594289$$
$$x_{36} = -10.9041216594289$$
$$x_{36} = 80.0981286289451$$
$$x_{36} = -36.1006222443756$$
$$x_{36} = 48.6741442319544$$
$$x_{36} = -29.811598790893$$
$$x_{36} = 23.519452498689$$
$$x_{36} = 67.5294347771441$$
$$x_{36} = -17.2207552719308$$
$$x_{36} = -23.519452498689$$
$$x_{36} = 17.2207552719308$$
$$x_{36} = 29.811598790893$$
$$x_{36} = -48.6741442319544$$
$$x_{36} = -86.3822220347287$$
$$x_{36} = 61.2447302603744$$
$$x_{36} = -54.9596782878889$$
$$x_{36} = 54.9596782878889$$
$$x_{36} = 92.6661922776228$$
$$x_{36} = 86.3822220347287$$
$$x_{36} = 36.1006222443756$$
$$x_{36} = 4.49340945790906$$
$$x_{36} = 98.9500628243319$$
$$x_{36} = -98.9500628243319$$
$$x_{36} = -444.533110935535$$
$$x_{36} = -61.2447302603744$$
$$x_{36} = 42.3879135681319$$
$$x_{36} = -80.0981286289451$$
$$x_{36} = 73.8138806006806$$
Decrece en los intervalos
$$\left[347.143107573282, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -114.659410595023\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20.3713029592876$$
$$x_{2} = -4.49340945790906$$
$$x_{3} = -7.72525183693771$$
$$x_{4} = -42.3879135681319$$
$$x_{5} = -67.5294347771441$$
$$x_{6} = -73.8138806006806$$
$$x_{7} = 6.31689619156083 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{8} = 111.517572246131$$
$$x_{9} = 70.6716857116195$$
$$x_{10} = -92.6661922776228$$
$$x_{11} = -95.8081387868617$$
$$x_{12} = 10.9041216594289$$
$$x_{13} = 26.6660542588127$$
$$x_{14} = -10.9041216594289$$
$$x_{15} = 1.19664026863252 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{16} = 80.0981286289451$$
$$x_{17} = -36.1006222443756$$
$$x_{18} = 83.2401924707234$$
$$x_{19} = 48.6741442319544$$
$$x_{20} = -14.0661939128315$$
$$x_{21} = 14.0661939128315$$
$$x_{22} = -29.811598790893$$
$$x_{23} = 23.519452498689$$
$$x_{24} = 76.9560263103312$$
$$x_{25} = 67.5294347771441$$
$$x_{26} = -17.2207552719308$$
$$x_{27} = 39.2444323611642$$
$$x_{28} = -23.519452498689$$
$$x_{29} = 17.2207552719308$$
$$x_{30} = 29.811598790893$$
$$x_{31} = -48.6741442319544$$
$$x_{32} = -86.3822220347287$$
$$x_{33} = 89.5242209304172$$
$$x_{34} = 61.2447302603744$$
$$x_{35} = -39.2444323611642$$
$$x_{36} = -76.9560263103312$$
$$x_{37} = -58.1022547544956$$
$$x_{38} = -54.9596782878889$$
$$x_{39} = 54.9596782878889$$
$$x_{40} = 95.8081387868617$$
$$x_{41} = 92.6661922776228$$
$$x_{42} = -70.6716857116195$$
$$x_{43} = 86.3822220347287$$
$$x_{44} = -26.6660542588127$$
$$x_{45} = -20.3713029592876$$
$$x_{46} = -89.5242209304172$$
$$x_{47} = -83.2401924707234$$
$$x_{48} = 45.5311340139913$$
$$x_{49} = 36.1006222443756$$
$$x_{50} = -7.43532772224002 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{51} = -32.9563890398225$$
$$x_{52} = 4.49340945790906$$
$$x_{53} = 98.9500628243319$$
$$x_{54} = 7.72525183693771$$
$$x_{55} = -98.9500628243319$$
$$x_{56} = -444.533110935535$$
$$x_{57} = -61.2447302603744$$
$$x_{58} = 42.3879135681319$$
$$x_{59} = 51.8169824872797$$
$$x_{60} = -114.659410595023$$
$$x_{61} = -51.8169824872797$$
$$x_{62} = -108.375719651675$$
$$x_{63} = -80.0981286289451$$
$$x_{64} = 58.1022547544956$$
$$x_{65} = 32.9563890398225$$
$$x_{66} = 64.3871195905574$$
$$x_{67} = 347.143107573282$$
$$x_{68} = -45.5311340139913$$
$$x_{69} = -64.3871195905574$$
$$x_{70} = 73.8138806006806$$
Signos de extremos en los puntos:
(20.37130295928756, 1.52180593371551)
(-4.493409457909064, -1.35688620894552)
(-7.725251836937707, 1.44312008655917)
(-42.38791356813192, -1.54721563021445)
(-67.52943477714412, -1.55599067477904)
(-73.81388060068065, -1.55725081095882)
(6.316896191560833e-18, 0.785398163397448)
(111.51757224613101, -1.56182973096642)
(70.6716857116195, 1.55664874870356)
(-92.66619227762284, -1.56000595174721)
(-95.8081387868617, 1.56035974760184)
(10.904121659428899, -1.47972375394027)
(26.666054258812675, 1.53333933435263)
(-10.904121659428899, -1.47972375394027)
(1.1966402686325174e-16, 0.785398163397448)
(80.09812862894512, -1.55831326191267)
(-36.10062224437561, -1.54311366800893)
(83.2401924707234, 1.55878434407342)
(48.674144231954386, -1.5502587607648)
(-14.066193912831473, 1.50000137792287)
(14.066193912831473, 1.50000137792287)
(-29.81159879089296, -1.53728374333092)
(23.519452498689006, -1.52834223393023)
(76.95602631033118, 1.55780372094166)
(67.52943477714412, -1.55599067477904)
(-17.22075527193077, -1.51288933633225)
(39.24443236116419, 1.54532878117926)
(-23.519452498689006, -1.52834223393023)
(17.22075527193077, -1.51288933633225)
(29.81159879089296, -1.53728374333092)
(-48.674144231954386, -1.5502587607648)
(-86.38222203472871, -1.55922116332795)
(89.52422093041719, 1.55962732661537)
(61.2447302603744, -1.55447201767914)
(-39.24443236116419, 1.54532878117926)
(-76.95602631033118, 1.55780372094166)
(-58.10225475449559, 1.55358953768302)
(-54.959678287888934, -1.552606186997)
(54.959678287888934, -1.552606186997)
(95.8081387868617, 1.56035974760184)
(92.66619227762284, -1.56000595174721)
(-70.6716857116195, 1.55664874870356)
(86.38222203472871, -1.55922116332795)
(-26.666054258812675, 1.53333933435263)
(-20.37130295928756, 1.52180593371551)
(-89.52422093041719, 1.55962732661537)
(-83.2401924707234, 1.55878434407342)
(45.53113401399128, 1.54884215644453)
(36.10062224437561, -1.54311366800893)
(-7.435327722240017e-17, 0.785398163397448)
(-32.956389039822476, 1.54047644999598)
(4.493409457909064, -1.35688620894552)
(98.95006282433188, -1.56069107904171)
(7.725251836937707, 1.44312008655917)
(-98.95006282433188, -1.56069107904171)
(-444.5331109355349, -1.56854678506592)
(-61.2447302603744, -1.55447201767914)
(42.38791356813192, -1.54721563021445)
(51.81698248727967, 1.55150362129997)
(-114.65941059502308, 1.56207539744288)
(-51.81698248727967, 1.55150362129997)
(-108.37571965167469, 1.5615698223655)
(-80.09812862894512, -1.55831326191267)
(58.10225475449559, 1.55358953768302)
(32.956389039822476, 1.54047644999598)
(64.38711959055742, 1.55526839112313)
(347.14310757328207, 1.56791569035676)
(-45.53113401399128, 1.54884215644453)
(-64.38711959055742, 1.55526839112313)
(73.81388060068065, -1.55725081095882)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 20.3713029592876$$
$$x_{2} = -7.72525183693771$$
$$x_{3} = 6.31689619156083 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{4} = 70.6716857116195$$
$$x_{5} = -95.8081387868617$$
$$x_{6} = 26.6660542588127$$
$$x_{7} = 1.19664026863252 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{8} = 83.2401924707234$$
$$x_{9} = -14.0661939128315$$
$$x_{10} = 14.0661939128315$$
$$x_{11} = 76.9560263103312$$
$$x_{12} = 39.2444323611642$$
$$x_{13} = 89.5242209304172$$
$$x_{14} = -39.2444323611642$$
$$x_{15} = -76.9560263103312$$
$$x_{16} = -58.1022547544956$$
$$x_{17} = 95.8081387868617$$
$$x_{18} = -70.6716857116195$$
$$x_{19} = -26.6660542588127$$
$$x_{20} = -20.3713029592876$$
$$x_{21} = -89.5242209304172$$
$$x_{22} = -83.2401924707234$$
$$x_{23} = 45.5311340139913$$
$$x_{24} = -7.43532772224002 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{25} = -32.9563890398225$$
$$x_{26} = 7.72525183693771$$
$$x_{27} = 51.8169824872797$$
$$x_{28} = -114.659410595023$$
$$x_{29} = -51.8169824872797$$
$$x_{30} = -108.375719651675$$
$$x_{31} = 58.1022547544956$$
$$x_{32} = 32.9563890398225$$
$$x_{33} = 64.3871195905574$$
$$x_{34} = 347.143107573282$$
$$x_{35} = -45.5311340139913$$
$$x_{36} = -64.3871195905574$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{36} = -4.49340945790906$$
$$x_{36} = -42.3879135681319$$
$$x_{36} = -67.5294347771441$$
$$x_{36} = -73.8138806006806$$
$$x_{36} = 111.517572246131$$
$$x_{36} = -92.6661922776228$$
$$x_{36} = 10.9041216594289$$
$$x_{36} = -10.9041216594289$$
$$x_{36} = 80.0981286289451$$
$$x_{36} = -36.1006222443756$$
$$x_{36} = 48.6741442319544$$
$$x_{36} = -29.811598790893$$
$$x_{36} = 23.519452498689$$
$$x_{36} = 67.5294347771441$$
$$x_{36} = -17.2207552719308$$
$$x_{36} = -23.519452498689$$
$$x_{36} = 17.2207552719308$$
$$x_{36} = 29.811598790893$$
$$x_{36} = -48.6741442319544$$
$$x_{36} = -86.3822220347287$$
$$x_{36} = 61.2447302603744$$
$$x_{36} = -54.9596782878889$$
$$x_{36} = 54.9596782878889$$
$$x_{36} = 92.6661922776228$$
$$x_{36} = 86.3822220347287$$
$$x_{36} = 36.1006222443756$$
$$x_{36} = 4.49340945790906$$
$$x_{36} = 98.9500628243319$$
$$x_{36} = -98.9500628243319$$
$$x_{36} = -444.533110935535$$
$$x_{36} = -61.2447302603744$$
$$x_{36} = 42.3879135681319$$
$$x_{36} = -80.0981286289451$$
$$x_{36} = 73.8138806006806$$
Decrece en los intervalos
$$\left[347.143107573282, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -114.659410595023\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9.21096438740149$$
$$x_{2} = -34.4996123350132$$
$$x_{3} = -72.2289483771681$$
$$x_{4} = -5.95939190757933$$
$$x_{5} = 21.9000773156394$$
$$x_{6} = 50.2256832197934$$
$$x_{7} = -75.3716947511882$$
$$x_{8} = 72.2289483771681$$
$$x_{9} = 28.2035393053095$$
$$x_{10} = 157.066899940015$$
$$x_{11} = 100.511069234565$$
$$x_{12} = -65.9431258539286$$
$$x_{13} = -94.2265573558031$$
$$x_{14} = 40.7917141624847$$
$$x_{15} = 34.4996123350132$$
$$x_{16} = -62.8000167068325$$
$$x_{17} = 15.5802941824244$$
$$x_{18} = 84.7994209518635$$
$$x_{19} = -84.7994209518635$$
$$x_{20} = 91.0842327848165$$
$$x_{21} = -18.7432530945386$$
$$x_{22} = -56.5132926241755$$
$$x_{23} = 81.6569211705466$$
$$x_{24} = 106.795425016936$$
$$x_{25} = 94.2265573558031$$
$$x_{26} = -78.5143487963623$$
$$x_{27} = 65.9431258539286$$
$$x_{28} = -12.4065403639626$$
$$x_{29} = 59.6567478435559$$
$$x_{30} = -28.2035393053095$$
$$x_{31} = -50.2256832197934$$
$$x_{32} = 12.4065403639626$$
$$x_{33} = 69.0860970774096$$
$$x_{34} = -15.5802941824244$$
$$x_{35} = 62.8000167068325$$
$$x_{36} = 2.45871417599962$$
$$x_{37} = 53.3696181339615$$
$$x_{38} = -53.3696181339615$$
$$x_{39} = 37.6460352959305$$
$$x_{40} = -21.9000773156394$$
$$x_{41} = -87.9418559209576$$
$$x_{42} = 5.95939190757933$$
$$x_{43} = -25.053079662454$$
$$x_{44} = 25.053079662454$$
$$x_{45} = 47.0814357397523$$
$$x_{46} = -31.3522215217643$$
$$x_{47} = 31.3522215217643$$
$$x_{48} = -100.511069234565$$
$$x_{49} = 75.3716947511882$$
$$x_{50} = -40.7917141624847$$
$$x_{51} = -47.0814357397523$$
$$x_{52} = -37.6460352959305$$
$$x_{53} = 18.7432530945386$$
$$x_{54} = -69.0860970774096$$
$$x_{55} = 97.3688346960149$$
$$x_{56} = 9.21096438740149$$
$$x_{57} = 56.5132926241755$$
$$x_{58} = -91.0842327848165$$
$$x_{59} = 78.5143487963623$$
$$x_{60} = -59.6567478435559$$
$$x_{61} = -43.9368086315937$$
$$x_{62} = 43.9368086315937$$
$$x_{63} = -2.45871417599962$$
$$x_{64} = -81.6569211705466$$
$$x_{65} = 87.9418559209576$$
$$x_{66} = -97.3688346960149$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{6}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = 0.894109817441799$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = 0.894109817441799$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[157.066899940015, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.3688346960149\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9.21096438740149$$
$$x_{2} = -34.4996123350132$$
$$x_{3} = -72.2289483771681$$
$$x_{4} = -5.95939190757933$$
$$x_{5} = 21.9000773156394$$
$$x_{6} = 50.2256832197934$$
$$x_{7} = -75.3716947511882$$
$$x_{8} = 72.2289483771681$$
$$x_{9} = 28.2035393053095$$
$$x_{10} = 157.066899940015$$
$$x_{11} = 100.511069234565$$
$$x_{12} = -65.9431258539286$$
$$x_{13} = -94.2265573558031$$
$$x_{14} = 40.7917141624847$$
$$x_{15} = 34.4996123350132$$
$$x_{16} = -62.8000167068325$$
$$x_{17} = 15.5802941824244$$
$$x_{18} = 84.7994209518635$$
$$x_{19} = -84.7994209518635$$
$$x_{20} = 91.0842327848165$$
$$x_{21} = -18.7432530945386$$
$$x_{22} = -56.5132926241755$$
$$x_{23} = 81.6569211705466$$
$$x_{24} = 106.795425016936$$
$$x_{25} = 94.2265573558031$$
$$x_{26} = -78.5143487963623$$
$$x_{27} = 65.9431258539286$$
$$x_{28} = -12.4065403639626$$
$$x_{29} = 59.6567478435559$$
$$x_{30} = -28.2035393053095$$
$$x_{31} = -50.2256832197934$$
$$x_{32} = 12.4065403639626$$
$$x_{33} = 69.0860970774096$$
$$x_{34} = -15.5802941824244$$
$$x_{35} = 62.8000167068325$$
$$x_{36} = 2.45871417599962$$
$$x_{37} = 53.3696181339615$$
$$x_{38} = -53.3696181339615$$
$$x_{39} = 37.6460352959305$$
$$x_{40} = -21.9000773156394$$
$$x_{41} = -87.9418559209576$$
$$x_{42} = 5.95939190757933$$
$$x_{43} = -25.053079662454$$
$$x_{44} = 25.053079662454$$
$$x_{45} = 47.0814357397523$$
$$x_{46} = -31.3522215217643$$
$$x_{47} = 31.3522215217643$$
$$x_{48} = -100.511069234565$$
$$x_{49} = 75.3716947511882$$
$$x_{50} = -40.7917141624847$$
$$x_{51} = -47.0814357397523$$
$$x_{52} = -37.6460352959305$$
$$x_{53} = 18.7432530945386$$
$$x_{54} = -69.0860970774096$$
$$x_{55} = 97.3688346960149$$
$$x_{56} = 9.21096438740149$$
$$x_{57} = 56.5132926241755$$
$$x_{58} = -91.0842327848165$$
$$x_{59} = 78.5143487963623$$
$$x_{60} = -59.6567478435559$$
$$x_{61} = -43.9368086315937$$
$$x_{62} = 43.9368086315937$$
$$x_{63} = -2.45871417599962$$
$$x_{64} = -81.6569211705466$$
$$x_{65} = 87.9418559209576$$
$$x_{66} = -97.3688346960149$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{6}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = 0.894109817441799$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{x + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 x \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 1\right)^{2}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}\right) = 0.894109817441799$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[157.066899940015, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.3688346960149\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par