Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg((x-1)/x)

Gráfico de la función y = arctg((x-1)/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x - 1\
f(x) = atan|-----|
           \  x  /
f(x)=atan⁡(x−1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} 
f = atan((x - 1)/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x−1x)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((x - 1)/x).
atan⁡(−10)\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−x−1x21+(x−1)2x2=0\frac{\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}}{1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1−x−1x)(1+(1−x−1x)(x−1)x(1+(x−1)2x2))x2(1+(x−1)2x2)=0- \frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2(1−x−1x)(1+(1−x−1x)(x−1)x(1+(x−1)2x2))x2(1+(x−1)2x2))=2\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}\right) = 2
lim⁡x→0+(−2(1−x−1x)(1+(1−x−1x)(x−1)x(1+(x−1)2x2))x2(1+(x−1)2x2))=2\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}\right) = 2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x−1x)=π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞atan⁡(x−1x)=π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} = \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π4y = \frac{\pi}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((x - 1)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x−1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x−1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x−1x)=atan⁡(−−x−1x)\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} = \operatorname{atan}{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)}
- No
atan⁡(x−1x)=−atan⁡(−−x−1x)\operatorname{atan}{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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