Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(x^2+1)

Gráfico de la función y = arctg(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2    \
f(x) = atan\x  + 1/
f(x)=atan⁡(x2+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} 
f = atan(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2+1)=0\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x^2 + 1).
atan⁡(02+1)\operatorname{atan}{\left(0^{2} + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=π4f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(x2+1)2+1=0\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
    pi 
(0, --)
    4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2(x2+1)(x2+1)2+1+1)(x2+1)2+1=0\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−13+73x_{1} = - \sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}
x2=−13+73x_{2} = \sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−−13+73,−13+73]\left[- \sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−−13+73]∪[−13+73,∞)\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x2+1)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x2+1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2+1)=atan⁡(x2+1)\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)}
- Sí
atan⁡(x2+1)=−atan⁡(x2+1)\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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