Gráfico de la función y = y=x-3/(x-4)(2x+1)

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f(x) = x - -----*(2*x + 1)
           x - 4

f{\left(x \right)} = x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right)

f = x - 3/(x - 4)*(2*x + 1)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 4

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 5 - 2 \sqrt{7}

x_{2} = 5 + 2 \sqrt{7}

Solución numérica

x_{1} = -0.291502622129181

x_{2} = 10.2915026221292

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 3/(x - 4)*(2*x + 1).

- \frac{3}{-4} \left(0 \cdot 2 + 1\right)

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \frac{3}{4}

Punto:

(0, 3/4)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

1 - \frac{6}{x - 4} + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{6 \left(2 - \frac{2 x + 1}{x - 4}\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 4

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right)\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 3/(x - 4)*(2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right)}{x}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right)}{x}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right) = - x - \frac{3 \left(1 - 2 x\right)}{- x - 4}

- No

x - \frac{3}{x - 4} \left(2 x + 1\right) = x + \frac{3 \left(1 - 2 x\right)}{- x - 4}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico