Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(3^x*(-1/(-1-log(x)))^x)

Gráfico de la función y = log(3^x*(-1/(-1-log(x)))^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /                x\
          | x /    -1     \ |
f(x) = log|3 *|-----------| |
          \   \-1 - log(x)/ /
f(x)=log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)f{\left(x \right)} = \log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} 
f = log(3^x*(-1/(-log(x) - 1))^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)=0\log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=e2x_{2} = e^{2}
Solución numérica
x1=7.38905609893065x_{1} = 7.38905609893065
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3^x*(-1/(-1 - log(x)))^x).
log⁡(30(−1−log⁡(0)−1)0)\log{\left(3^{0} \left(- \frac{1}{- \log{\left(0 \right)} - 1}\right)^{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3−x(−1−log⁡(x)−1)−x(3x(−1−log⁡(x)−1)x(log⁡(−1−log⁡(x)−1)−log⁡(x)+1(−log⁡(x)−1)2)+3x(−1−log⁡(x)−1)xlog⁡(3))=03^{- x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{- x} \left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \left(\log{\left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1} \right)} - \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) + 3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \log{\left(3 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.85030215130551x_{1} = 1.85030215130551
Signos de extremos en los puntos:
(1.8503021513055105, 1.14545043063748)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1.85030215130551x_{1} = 1.85030215130551
Decrece en los intervalos
(−∞,1.85030215130551]\left(-\infty, 1.85030215130551\right]
Crece en los intervalos
[1.85030215130551,∞)\left[1.85030215130551, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)2−(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)+2(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)−(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)+log⁡(3)2−1−1log⁡(x)+1x(log⁡(x)+1)=0\left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)^{2} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) + 2 \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442

lim⁡x→0.367879441171442−((log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)2−(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)+2(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)−(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)+log⁡(3)2−1−1log⁡(x)+1x(log⁡(x)+1))=∞\lim_{x \to 0.367879441171442^-}\left(\left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)^{2} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) + 2 \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \infty
lim⁡x→0.367879441171442+((log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)2−(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)+2(log⁡(1log⁡(x)+1)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)−(log⁡(1log⁡(x)+1)+log⁡(3)−1log⁡(x)+1)log⁡(3)+log⁡(3)2−1−1log⁡(x)+1x(log⁡(x)+1))=∞\lim_{x \to 0.367879441171442^+}\left(\left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)^{2} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) + 2 \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} - \left(\log{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1} \right)} + \log{\left(3 \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}\right) \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)=−∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3^x*(-1/(-1 - log(x)))^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)=log⁡(3−x(−1−log⁡(−x)−1)−x)\log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} = \log{\left(3^{- x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(- x \right)} - 1}\right)^{- x} \right)}
- No
log⁡(3x(−1−log⁡(x)−1)x)=−log⁡(3−x(−1−log⁡(−x)−1)−x)\log{\left(3^{x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(x \right)} - 1}\right)^{x} \right)} = - \log{\left(3^{- x} \left(- \frac{1}{- \log{\left(- x \right)} - 1}\right)^{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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