Sr Examen

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log(1-cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ log(1-cos(x))

Gráfico de la función y = log(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(1 - cos(x))
f(x)=log⁡(1−cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = log(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(1−cos⁡(x))=0\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=17.2787595947439x_{1} = 17.2787595947439
x2=−23.5619449019235x_{2} = -23.5619449019235
x3=−14.1371669411541x_{3} = -14.1371669411541
x4=51.8362787842316x_{4} = 51.8362787842316
x5=−17.2787595947439x_{5} = -17.2787595947439
x6=−10.9955742875643x_{6} = -10.9955742875643
x7=−36.1283155162826x_{7} = -36.1283155162826
x8=−95.8185759344887x_{8} = -95.8185759344887
x9=−48.6946861306418x_{9} = -48.6946861306418
x10=−26.7035375555132x_{10} = -26.7035375555132
x11=4.71238898038469x_{11} = 4.71238898038469
x12=26.7035375555132x_{12} = 26.7035375555132
x13=89.5353906273091x_{13} = 89.5353906273091
x14=23.5619449019235x_{14} = 23.5619449019235
x15=14.1371669411541x_{15} = 14.1371669411541
x16=42.4115008234622x_{16} = 42.4115008234622
x17=95.8185759344887x_{17} = 95.8185759344887
x18=−61.261056745001x_{18} = -61.261056745001
x19=58.1194640914112x_{19} = 58.1194640914112
x20=36.1283155162826x_{20} = 36.1283155162826
x21=29.845130209103x_{21} = 29.845130209103
x22=−73.8274273593601x_{22} = -73.8274273593601
x23=61.261056745001x_{23} = 61.261056745001
x24=48.6946861306418x_{24} = 48.6946861306418
x25=−4.71238898038469x_{25} = -4.71238898038469
x26=70.6858347057703x_{26} = 70.6858347057703
x27=−7.85398163397448x_{27} = -7.85398163397448
x28=−51.8362787842316x_{28} = -51.8362787842316
x29=−76.9690200129499x_{29} = -76.9690200129499
x30=−89.5353906273091x_{30} = -89.5353906273091
x31=−39.2699081698724x_{31} = -39.2699081698724
x32=80.1106126665397x_{32} = 80.1106126665397
x33=−42.4115008234622x_{33} = -42.4115008234622
x34=83.2522053201295x_{34} = 83.2522053201295
x35=−92.6769832808989x_{35} = -92.6769832808989
x36=32.9867228626928x_{36} = 32.9867228626928
x37=45.553093477052x_{37} = 45.553093477052
x38=20.4203522483337x_{38} = 20.4203522483337
x39=64.4026493985908x_{39} = 64.4026493985908
x40=−32.9867228626928x_{40} = -32.9867228626928
x41=67.5442420521806x_{41} = 67.5442420521806
x42=−20.4203522483337x_{42} = -20.4203522483337
x43=−80.1106126665397x_{43} = -80.1106126665397
x44=7.85398163397448x_{44} = 7.85398163397448
x45=−45.553093477052x_{45} = -45.553093477052
x46=76.9690200129499x_{46} = 76.9690200129499
x47=−1.5707963267949x_{47} = -1.5707963267949
x48=39.2699081698724x_{48} = 39.2699081698724
x49=−70.6858347057703x_{49} = -70.6858347057703
x50=−67.5442420521806x_{50} = -67.5442420521806
x51=−98.9601685880785x_{51} = -98.9601685880785
x52=−29.845130209103x_{52} = -29.845130209103
x53=−83.2522053201295x_{53} = -83.2522053201295
x54=−86.3937979737193x_{54} = -86.3937979737193
x55=98.9601685880785x_{55} = 98.9601685880785
x56=73.8274273593601x_{56} = 73.8274273593601
x57=−58.1194640914112x_{57} = -58.1194640914112
x58=92.6769832808989x_{58} = 92.6769832808989
x59=54.9778714378214x_{59} = 54.9778714378214
x60=86.3937979737193x_{60} = 86.3937979737193
x61=1.5707963267949x_{61} = 1.5707963267949
x62=−54.9778714378214x_{62} = -54.9778714378214
x63=−64.4026493985908x_{63} = -64.4026493985908
x64=10.9955742875643x_{64} = 10.9955742875643
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 - cos(x)).
log⁡(1−cos⁡(0))\log{\left(1 - \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1=0- \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(1−cos⁡(x))=log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨0,2⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(1−cos⁡(x))=log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨0,2⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(1−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(1−cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(1−cos⁡(x))=log⁡(1−cos⁡(x))\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(1−cos⁡(x))=−log⁡(1−cos⁡(x))\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = log(1-cos(x))
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