Sr Examen

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cos7x
Trazado el gráfico de la función/ cos7x

Gráfico de la función y = cos7x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(7*x)
f(x)=cos⁡(7x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)} 
f = cos(7*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(7x)=0\cos{\left(7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π14x_{1} = \frac{\pi}{14}
x2=3π14x_{2} = \frac{3 \pi}{14}
Solución numérica
x1=78.3154168644884x_{1} = 78.3154168644884
x2=−24.0107438524363x_{2} = -24.0107438524363
x3=46.0018924275648x_{3} = 46.0018924275648
x4=54.0802735367957x_{4} = 54.0802735367957
x5=−59.9146598934625x_{5} = -59.9146598934625
x6=2.01959527730772x_{6} = 2.01959527730772
x7=−3.81479107935903x_{7} = -3.81479107935903
x8=14.1371669411541x_{8} = 14.1371669411541
x9=96.2673748850015x_{9} = 96.2673748850015
x10=−39.7187071203852x_{10} = -39.7187071203852
x11=72.0322315573088x_{11} = 72.0322315573088
x12=44.2066966255135x_{12} = 44.2066966255135
x13=18.1763574957695x_{13} = 18.1763574957695
x14=−19.9715532978208x_{14} = -19.9715532978208
x15=100.306565439617x_{15} = 100.306565439617
x16=−69.7882368047447x_{16} = -69.7882368047447
x17=−33.8843207637185x_{17} = -33.8843207637185
x18=−46.0018924275648x_{18} = -46.0018924275648
x19=40.1675060708981x_{19} = 40.1675060708981
x20=26.2547386050004x_{20} = 26.2547386050004
x21=−2.01959527730772x_{21} = -2.01959527730772
x22=−51.8362787842316x_{22} = -51.8362787842316
x23=−17.7275585452567x_{23} = -17.7275585452567
x24=−37.9235113183339x_{24} = -37.9235113183339
x25=62.1586546460266x_{25} = 62.1586546460266
x26=−61.7098556955138x_{26} = -61.7098556955138
x27=6.05878583192317x_{27} = 6.05878583192317
x28=−11.8931721885899x_{28} = -11.8931721885899
x29=94.0233801324374x_{29} = 94.0233801324374
x30=56.7730672398727x_{30} = 56.7730672398727
x31=−63.9538504480779x_{31} = -63.9538504480779
x32=−65.7490462501292x_{32} = -65.7490462501292
x33=−21.7667490998721x_{33} = -21.7667490998721
x34=−13.6883679906412x_{34} = -13.6883679906412
x35=28.0499344070517x_{35} = 28.0499344070517
x36=−29.845130209103x_{36} = -29.845130209103
x37=0.224399475256414x_{37} = 0.224399475256414
x38=−85.9449990232065x_{38} = -85.9449990232065
x39=32.0891249616672x_{39} = 32.0891249616672
x40=−15.9323627432054x_{40} = -15.9323627432054
x41=10.0979763865386x_{41} = 10.0979763865386
x42=−98.0625706870528x_{42} = -98.0625706870528
x43=88.1889937757706x_{43} = 88.1889937757706
x44=−50.0410829821803x_{44} = -50.0410829821803
x45=−32.53792391218x_{45} = -32.53792391218
x46=22.215548050385x_{46} = 22.215548050385
x47=−72.0322315573088x_{47} = -72.0322315573088
x48=70.2370357552575x_{48} = 70.2370357552575
x49=−99.8577664891041x_{49} = -99.8577664891041
x50=−28.0499344070517x_{50} = -28.0499344070517
x51=−67.9930410026934x_{51} = -67.9930410026934
x52=41.9627018729494x_{52} = 41.9627018729494
x53=85.9449990232065x_{53} = 85.9449990232065
x54=84.1498032211552x_{54} = 84.1498032211552
x55=36.1283155162826x_{55} = 36.1283155162826
x56=24.0107438524363x_{56} = 24.0107438524363
x57=80.1106126665397x_{57} = 80.1106126665397
x58=66.1978452006421x_{58} = 66.1978452006421
x59=37.4747123678211x_{59} = 37.4747123678211
x60=76.0714221119243x_{60} = 76.0714221119243
x61=58.1194640914112x_{61} = 58.1194640914112
x62=−55.875469338847x_{62} = -55.875469338847
x63=15.9323627432054x_{63} = 15.9323627432054
x64=89.9841895778219x_{64} = 89.9841895778219
x65=−77.8666179139756x_{65} = -77.8666179139756
x66=−95.8185759344887x_{66} = -95.8185759344887
x67=−47.7970882296161x_{67} = -47.7970882296161
x68=−6.05878583192317x_{68} = -6.05878583192317
x69=−94.0233801324374x_{69} = -94.0233801324374
x70=−89.9841895778219x_{70} = -89.9841895778219
x71=−41.9627018729494x_{71} = -41.9627018729494
x72=74.276226309873x_{72} = 74.276226309873
x73=8.30278058448731x_{73} = 8.30278058448731
x74=92.2281843303861x_{74} = 92.2281843303861
x75=−80.5594116170526x_{75} = -80.5594116170526
x76=48.245887180129x_{76} = 48.245887180129
x77=−35.6795165657698x_{77} = -35.6795165657698
x78=63.9538504480779x_{78} = 63.9538504480779
x79=50.0410829821803x_{79} = 50.0410829821803
x80=19.9715532978208x_{80} = 19.9715532978208
x81=4.26359002987186x_{81} = 4.26359002987186
x82=−87.7401948252578x_{82} = -87.7401948252578
x83=−83.7010042706423x_{83} = -83.7010042706423
x84=−91.7793853798732x_{84} = -91.7793853798732
x85=30.2939291596159x_{85} = 30.2939291596159
x86=52.2850777347444x_{86} = 52.2850777347444
x87=−81.905808468591x_{87} = -81.905808468591
x88=98.0625706870528x_{88} = 98.0625706870528
x89=−43.7578976750007x_{89} = -43.7578976750007
x90=−73.8274273593601x_{90} = -73.8274273593601
x91=3.81479107935903x_{91} = 3.81479107935903
x92=−76.0714221119243x_{92} = -76.0714221119243
x93=−7.85398163397448x_{93} = -7.85398163397448
x94=67.9930410026934x_{94} = 67.9930410026934
x95=−25.8059396544876x_{95} = -25.8059396544876
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(7*x).
cos⁡(0⋅7)\cos{\left(0 \cdot 7 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−7sin⁡(7x)=0- 7 \sin{\left(7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π7x_{2} = \frac{\pi}{7}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 7


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π7x_{1} = \frac{\pi}{7}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π7,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π7]\left[0, \frac{\pi}{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−49cos⁡(7x)=0- 49 \cos{\left(7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π14x_{1} = \frac{\pi}{14}
x2=3π14x_{2} = \frac{3 \pi}{14}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π14,3π14]\left[\frac{\pi}{14}, \frac{3 \pi}{14}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π14]∪[3π14,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{14}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{14}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(7x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(7 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(7x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(7 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(7*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(7x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(7x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(7x)=cos⁡(7x)\cos{\left(7 x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}
- Sí
cos⁡(7x)=−cos⁡(7x)\cos{\left(7 x \right)} = - \cos{\left(7 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos7x
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