Sr Examen

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log(sin(x))^2
Trazado el gráfico de la función/ log(sin(x))^2

Gráfico de la función y = log(sin(x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2        
f(x) = log (sin(x))
f(x)=log⁡(sin⁡(x))2f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} 
f = log(sin(x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x))2=0\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=51.8368234566586x_{1} = 51.8368234566586
x2=−86.3925842392506x_{2} = -86.3925842392506
x3=45.5544600806113x_{3} = 45.5544600806113
x4=26.7022889977245x_{4} = 26.7022889977245
x5=−67.5448188658963x_{5} = -67.5448188658963
x6=−73.8271869849021x_{6} = -73.8271869849021
x7=95.8191745039056x_{7} = 95.8191745039056
x8=20.4198718890876x_{8} = 20.4198718890876
x9=64.4022176189635x_{9} = 64.4022176189635
x10=58.120031437659x_{10} = 58.120031437659
x11=1.57211177695261x_{11} = 1.57211177695261
x12=7.85447157663684x_{12} = 7.85447157663684
x13=−80.1102351081737x_{13} = -80.1102351081737
x14=−61.2624038830445x_{14} = -61.2624038830445
x15=−36.1278812447536x_{15} = -36.1278812447536
x16=−23.5624735928893x_{16} = -23.5624735928893
x17=89.5368086370953x_{17} = 89.5368086370953
x18=70.6846350039307x_{18} = 70.6846350039307
x19=−29.844799684505x_{19} = -29.844799684505
x20=−42.4102363154305x_{20} = -42.4102363154305
x21=−17.2800572883552x_{21} = -17.2800572883552
x22=14.1376312433316x_{22} = 14.1376312433316
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(x))^2.
log⁡(sin⁡(0))2\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2log⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      2 
(----, -pi )
  2         

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−log⁡(sin⁡(x))−log⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=02 \left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−61.2610571097019x_{1} = -61.2610571097019
x2=95.8185760775166x_{2} = 95.8185760775166
x3=14.1371671269978x_{3} = 14.1371671269978
x4=7.85398175221663x_{4} = 7.85398175221663
x5=70.6858343970536x_{5} = 70.6858343970536
x6=20.4203521407973x_{6} = 20.4203521407973
x7=−67.5442421818652x_{7} = -67.5442421818652
x8=1.57079668583887x_{8} = 1.57079668583887
x9=−36.1283154103643x_{9} = -36.1283154103643
x10=−23.561945020441x_{10} = -23.561945020441
x11=−73.8274272791527x_{11} = -73.8274272791527
x12=−86.3937976530284x_{12} = -86.3937976530284
x13=45.5530938566513x_{13} = 45.5530938566513
x14=−17.2787599399145x_{14} = -17.2787599399145
x15=89.5353910284826x_{15} = 89.5353910284826
x16=−42.4115004840308x_{16} = -42.4115004840308
x17=−80.1106125730256x_{17} = -80.1106125730256
x18=58.1194643516202x_{18} = 58.1194643516202
x19=64.4026493018902x_{19} = 64.4026493018902
x20=−29.8451300923533x_{20} = -29.8451300923533
x21=26.7035372289826x_{21} = 26.7035372289826
x22=51.8362789148165x_{22} = 51.8362789148165

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(sin⁡(x))2=log⁡(⟨−1,1⟩)2\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)2y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
lim⁡x→∞log⁡(sin⁡(x))2=log⁡(⟨−1,1⟩)2\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)2y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}^{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x))2=log⁡(−sin⁡(x))2\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}^{2}
- No
log⁡(sin⁡(x))2=−log⁡(−sin⁡(x))2\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(sin(x))^2
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