Sr Examen

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cosx/cos2x
Trazado el gráfico de la función/ cosx/cos2x

Gráfico de la función y = cosx/cos2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        cos(x) 
f(x) = --------
       cos(2*x)
f(x)=cos⁡(x)cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} 
f = cos(x)/cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.785398163397448x_{1} = 0.785398163397448
x2=2.35619449019234x_{2} = 2.35619449019234
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)cos⁡(2x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
x3=39.2699081698724x_{3} = 39.2699081698724
x4=95.8185759344887x_{4} = 95.8185759344887
x5=−325.154839646544x_{5} = -325.154839646544
x6=45.553093477052x_{6} = 45.553093477052
x7=70.6858347057703x_{7} = 70.6858347057703
x8=−10.9955742875643x_{8} = -10.9955742875643
x9=−58.1194640914112x_{9} = -58.1194640914112
x10=−23.5619449019235x_{10} = -23.5619449019235
x11=−108.384946548848x_{11} = -108.384946548848
x12=−26.7035375555132x_{12} = -26.7035375555132
x13=−89.5353906273091x_{13} = -89.5353906273091
x14=−17.2787595947439x_{14} = -17.2787595947439
x15=26.7035375555132x_{15} = 26.7035375555132
x16=−42.4115008234622x_{16} = -42.4115008234622
x17=−61.261056745001x_{17} = -61.261056745001
x18=92.6769832808989x_{18} = 92.6769832808989
x19=61.261056745001x_{19} = 61.261056745001
x20=−98.9601685880785x_{20} = -98.9601685880785
x21=42.4115008234622x_{21} = 42.4115008234622
x22=−64.4026493985908x_{22} = -64.4026493985908
x23=67.5442420521806x_{23} = 67.5442420521806
x24=−7.85398163397448x_{24} = -7.85398163397448
x25=80.1106126665397x_{25} = 80.1106126665397
x26=−14.1371669411541x_{26} = -14.1371669411541
x27=14.1371669411541x_{27} = 14.1371669411541
x28=−1.5707963267949x_{28} = -1.5707963267949
x29=1.5707963267949x_{29} = 1.5707963267949
x30=29.845130209103x_{30} = 29.845130209103
x31=−51.8362787842316x_{31} = -51.8362787842316
x32=−29.845130209103x_{32} = -29.845130209103
x33=−48.6946861306418x_{33} = -48.6946861306418
x34=−73.8274273593601x_{34} = -73.8274273593601
x35=23.5619449019235x_{35} = 23.5619449019235
x36=20.4203522483337x_{36} = 20.4203522483337
x37=−86.3937979737193x_{37} = -86.3937979737193
x38=58.1194640914112x_{38} = 58.1194640914112
x39=51.8362787842316x_{39} = 51.8362787842316
x40=−67.5442420521806x_{40} = -67.5442420521806
x41=−130.376095123976x_{41} = -130.376095123976
x42=161.792021659874x_{42} = 161.792021659874
x43=−45.553093477052x_{43} = -45.553093477052
x44=234.04865269244x_{44} = 234.04865269244
x45=48.6946861306418x_{45} = 48.6946861306418
x46=−83.2522053201295x_{46} = -83.2522053201295
x47=−95.8185759344887x_{47} = -95.8185759344887
x48=89.5353906273091x_{48} = 89.5353906273091
x49=−39.2699081698724x_{49} = -39.2699081698724
x50=76.9690200129499x_{50} = 76.9690200129499
x51=−32.9867228626928x_{51} = -32.9867228626928
x52=−20.4203522483337x_{52} = -20.4203522483337
x53=−36.1283155162826x_{53} = -36.1283155162826
x54=7.85398163397448x_{54} = 7.85398163397448
x55=−80.1106126665397x_{55} = -80.1106126665397
x56=86.3937979737193x_{56} = 86.3937979737193
x57=36.1283155162826x_{57} = 36.1283155162826
x58=64.4026493985908x_{58} = 64.4026493985908
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/cos(2*x).
cos⁡(0)cos⁡(0⋅2)\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡(x)cos⁡2(2x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.785398163397448x_{1} = 0.785398163397448
x2=2.35619449019234x_{2} = 2.35619449019234
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cos⁡(2x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)cos⁡(2x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x)xcos⁡(2x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡(x)xcos⁡(2x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)cos⁡(2x)=cos⁡(x)cos⁡(2x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}
- Sí
cos⁡(x)cos⁡(2x)=−cos⁡(x)cos⁡(2x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cosx/cos2x
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