Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-sin(x)+cos(x))/cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       -sin(x) + cos(x)
f(x) = ----------------
           cos(2*x)    
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
f = (-sin(x) + cos(x))/cos(2*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-sin(x) + cos(x))/cos(2*x).
$$\frac{- \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}}{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 4 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - \frac{4 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} + \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-sin(x) + cos(x))/cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar