Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = x/2+sqrt(4-x+5*x^2)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              ______________
             /            2 
       x   \/  4 - x + 5*x  
f(x) = - + -----------------
       2           2        
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}$$
f = x/2 + sqrt(5*x^2 + 4 - x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/2 + sqrt(4 - x + 5*x^2)/2.
$$\frac{0}{2} + \frac{\sqrt{5 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{5 x - \frac{1}{2}}{2 \sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}} + \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}$$
Signos de extremos en los puntos:
                         ________________________________          
                        /                     2                    
                       /         /       ____\      ____           
                      /   39     |1    \/ 79 |    \/ 79            
        ____         /    -- + 5*|-- - ------|  + ------      ____ 
 1    \/ 79   1    \/     10     \10     20  /      20      \/ 79  
(-- - ------, -- + -------------------------------------- - ------)
 10     20    20                     2                        40   


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(10 x - 1\right)^{2}}{4 \left(5 x^{2} - x + 4\right)} + 5}{2 \sqrt{5 x^{2} - x + 4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/2 + sqrt(4 - x + 5*x^2)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}}{x}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + x + 4}}{2}$$
- No
$$\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x + 4}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar