Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{5 x - \frac{1}{2}}{2 \sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}} + \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}$$
Signos de extremos en los puntos:
________________________________
/ 2
/ / ____\ ____
/ 39 |1 \/ 79 | \/ 79
____ / -- + 5*|-- - ------| + ------ ____
1 \/ 79 1 \/ 10 \10 20 / 20 \/ 79
(-- - ------, -- + -------------------------------------- - ------)
10 20 20 2 40
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{79}}{20}\right]$$