Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/2-sqrt(4-x+5*x^2)/2

Gráfico de la función y = x/2-sqrt(4-x+5*x^2)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              ______________
             /            2 
       x   \/  4 - x + 5*x  
f(x) = - - -----------------
       2           2
f(x)=x2−5x2+(4−x)2f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} 
f = x/2 - sqrt(5*x^2 + 4 - x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-20
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−5x2+(4−x)2=0\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/2 - sqrt(4 - x + 5*x^2)/2.
−5⋅02+(4−0)2+02- \frac{\sqrt{5 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)}}{2} + \frac{0}{2}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5x−1225x2+(4−x)+12=0- \frac{5 x - \frac{1}{2}}{2 \sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}} + \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=110+7920x_{1} = \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{79}}{20}
Signos de extremos en los puntos:
                         ________________________________          
                        /                     2                    
                       /         /       ____\      ____           
                      /   39     |1    \/ 79 |    \/ 79            
        ____         /    -- + 5*|-- + ------|  - ------      ____ 
 1    \/ 79   1    \/     10     \10     20  /      20      \/ 79  
(-- + ------, -- - -------------------------------------- + ------)
 10     20    20                     2                        40


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=110+7920x_{1} = \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{79}}{20}
Decrece en los intervalos
(−∞,110+7920]\left(-\infty, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{79}}{20}\right]
Crece en los intervalos
[110+7920,∞)\left[\frac{1}{10} + \frac{\sqrt{79}}{20}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(10x−1)24(5x2−x+4)−525x2−x+4=0\frac{\frac{\left(10 x - 1\right)^{2}}{4 \left(5 x^{2} - x + 4\right)} - 5}{2 \sqrt{5 x^{2} - x + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−5x2+(4−x)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−5x2+(4−x)2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/2 - sqrt(4 - x + 5*x^2)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−5x2+(4−x)2x)=12+52\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}}{x}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(12+52)y = x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)
lim⁡x→∞(x2−5x2+(4−x)2x)=12−52\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2}}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x(12−52)y = x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−5x2+(4−x)2=−x2−5x2+x+42\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + x + 4}}{2}
- No
x2−5x2+(4−x)2=x2+5x2+x+42\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{5 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5 x^{2} + x + 4}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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