Sr Examen

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y=sin2x+sinx
Trazado el gráfico de la función/ y=sin2x+sinx

Gráfico de la función y = y=sin2x+sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(2*x) + sin(x)
f(x)=sin⁡(x)+sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} 
f = sin(x) + sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+sin⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−4π3x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}
x3=−πx_{3} = - \pi
x4=−2π3x_{4} = - \frac{2 \pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi
x7=4π3x_{7} = \frac{4 \pi}{3}
x8=2πx_{8} = 2 \pi
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=−5612.97887441376x_{2} = -5612.97887441376
x3=−79.5870138909414x_{3} = -79.5870138909414
x4=−21.9911485751286x_{4} = -21.9911485751286
x5=21.9911485751286x_{5} = 21.9911485751286
x6=−85.870199198121x_{6} = -85.870199198121
x7=−15.707963267949x_{7} = -15.707963267949
x8=−4.18879020478639x_{8} = -4.18879020478639
x9=73.3038285837618x_{9} = 73.3038285837618
x10=−67.0206432765823x_{10} = -67.0206432765823
x11=−35.6047167406843x_{11} = -35.6047167406843
x12=6.28318530717959x_{12} = 6.28318530717959
x13=2.0943951023932x_{13} = 2.0943951023932
x14=39.7935069454707x_{14} = 39.7935069454707
x15=−39.7935069454707x_{15} = -39.7935069454707
x16=−77.4926187885482x_{16} = -77.4926187885482
x17=28.2743338823081x_{17} = 28.2743338823081
x18=29.3215314335047x_{18} = 29.3215314335047
x19=−94.2477796076938x_{19} = -94.2477796076938
x20=−12.5663706143592x_{20} = -12.5663706143592
x21=−73.3038285837618x_{21} = -73.3038285837618
x22=−96.342174710087x_{22} = -96.342174710087
x23=85.870199198121x_{23} = 85.870199198121
x24=−25.1327412287183x_{24} = -25.1327412287183
x25=−53.4070751110265x_{25} = -53.4070751110265
x26=98.4365698124802x_{26} = 98.4365698124802
x27=20.943951023932x_{27} = 20.943951023932
x28=−90.0589894029074x_{28} = -90.0589894029074
x29=−41.8879020478639x_{29} = -41.8879020478639
x30=64.9262481741891x_{30} = 64.9262481741891
x31=59.6902604182061x_{31} = 59.6902604182061
x32=−23.0383461263252x_{32} = -23.0383461263252
x33=90.0589894029074x_{33} = 90.0589894029074
x34=56.5486677646163x_{34} = 56.5486677646163
x35=−2.0943951023932x_{35} = -2.0943951023932
x36=41.8879020478639x_{36} = 41.8879020478639
x37=72.2566310325652x_{37} = 72.2566310325652
x38=−50.2654824574367x_{38} = -50.2654824574367
x39=14.6607657167524x_{39} = 14.6607657167524
x40=79.5870138909414x_{40} = 79.5870138909414
x41=78.5398163397448x_{41} = 78.5398163397448
x42=−87.9645943005142x_{42} = -87.9645943005142
x43=37.6991118430775x_{43} = 37.6991118430775
x44=−6.28318530717959x_{44} = -6.28318530717959
x45=−37.6991118430775x_{45} = -37.6991118430775
x46=−43.9822971502571x_{46} = -43.9822971502571
x47=−14.6607657167524x_{47} = -14.6607657167524
x48=−100.530964914873x_{48} = -100.530964914873
x49=8.37758040957278x_{49} = 8.37758040957278
x50=−72.2566310325652x_{50} = -72.2566310325652
x51=52.3598775598299x_{51} = 52.3598775598299
x52=−81.6814089933346x_{52} = -81.6814089933346
x53=−46.0766922526503x_{53} = -46.0766922526503
x54=−58.6430628670095x_{54} = -58.6430628670095
x55=−33.5103216382911x_{55} = -33.5103216382911
x56=−65.9734457253857x_{56} = -65.9734457253857
x57=0x_{57} = 0
x58=35.6047167406843x_{58} = 35.6047167406843
x59=−28.2743338823081x_{59} = -28.2743338823081
x60=−56.5486677646163x_{60} = -56.5486677646163
x61=96.342174710087x_{61} = 96.342174710087
x62=31.4159265358979x_{62} = 31.4159265358979
x63=43.9822971502571x_{63} = 43.9822971502571
x64=−83.7758040957278x_{64} = -83.7758040957278
x65=100.530964914873x_{65} = 100.530964914873
x66=81.6814089933346x_{66} = 81.6814089933346
x67=−75.398223686155x_{67} = -75.398223686155
x68=−8.37758040957278x_{68} = -8.37758040957278
x69=50.2654824574367x_{69} = 50.2654824574367
x70=48.1710873550435x_{70} = 48.1710873550435
x71=94.2477796076938x_{71} = 94.2477796076938
x72=4.18879020478639x_{72} = 4.18879020478639
x73=83.7758040957278x_{73} = 83.7758040957278
x74=−59.6902604182061x_{74} = -59.6902604182061
x75=58.6430628670095x_{75} = 58.6430628670095
x76=12.5663706143592x_{76} = 12.5663706143592
x77=−69.1150383789755x_{77} = -69.1150383789755
x78=54.4542726622231x_{78} = 54.4542726622231
x79=18.8495559215388x_{79} = 18.8495559215388
x80=34.5575191894877x_{80} = 34.5575191894877
x81=92.1533845053006x_{81} = 92.1533845053006
x82=−48.1710873550435x_{82} = -48.1710873550435
x83=46.0766922526503x_{83} = 46.0766922526503
x84=−29.3215314335047x_{84} = -29.3215314335047
x85=15.707963267949x_{85} = 15.707963267949
x86=10.471975511966x_{86} = 10.471975511966
x87=87.9645943005142x_{87} = 87.9645943005142
x88=−9.42477796076938x_{88} = -9.42477796076938
x89=−92.1533845053006x_{89} = -92.1533845053006
x90=−52.3598775598299x_{90} = -52.3598775598299
x91=62.8318530717959x_{91} = 62.8318530717959
x92=−31.4159265358979x_{92} = -31.4159265358979
x93=75.398223686155x_{93} = 75.398223686155
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) + sin(x).
sin⁡(0⋅2)+sin⁡(0)\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+2cos⁡(2x)=0\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−18+338−2i33+158)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(−18+338+2i33+158)x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−338−18−2i15−338)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(−338−18+2i15−338)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |        ____       ___   /        ____ |       |     |        ____       ___   /        ____ ||      |       |        ____       ___   /        ____ || 
       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  |       |     |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  ||      |       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  || 
(-I*log|- - + ------ - ------------------------|, - sin|I*log|- - + ------ - ------------------------|| - sin|2*I*log|- - + ------ - ------------------------||)
       \  8     8                 8            /       \     \  8     8                 8            //      \       \  8     8                 8            // 

       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |        ____       ___   /        ____ |       |     |        ____       ___   /        ____ ||      |       |        ____       ___   /        ____ || 
       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  |       |     |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  ||      |       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 + \/ 33  || 
(-I*log|- - + ------ + ------------------------|, - sin|I*log|- - + ------ + ------------------------|| - sin|2*I*log|- - + ------ + ------------------------||)
       \  8     8                 8            /       \     \  8     8                 8            //      \       \  8     8                 8            // 

       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |        ____       ___   /        ____ |       |     |        ____       ___   /        ____ ||      |       |        ____       ___   /        ____ || 
       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  |       |     |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  ||      |       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  || 
(-I*log|- - - ------ - ------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ - ------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ - ------------------------||)
       \  8     8                 8            /       \     \  8     8                 8            //      \       \  8     8                 8            // 

       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |        ____       ___   /        ____ |       |     |        ____       ___   /        ____ ||      |       |        ____       ___   /        ____ || 
       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  |       |     |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  ||      |       |  1   \/ 33    I*\/ 2 *\/  15 - \/ 33  || 
(-I*log|- - - ------ + ------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ + ------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ + ------------------------||)
       \  8     8                 8            /       \     \  8     8                 8            //      \       \  8     8                 8            //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(233+15−1+33)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}
x2=atan⁡(215−33−33−1)+πx_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi
Puntos máximos de la función:
x2=atan⁡(233+15−1+33)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}
x2=−π−atan⁡(215−33−33−1)x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}
Decrece en los intervalos
[atan⁡(215−33−33−1)+π,∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(233+15−1+33)]∪[atan⁡(233+15−1+33),atan⁡(215−33−33−1)+π]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+4sin⁡(2x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=−ilog⁡(−18−37i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} - \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(−18+37i8)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π+atan⁡(37),0]∪[π−atan⁡(37),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(37)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+sin⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+sin⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+sin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+sin⁡(2x)=−sin⁡(x)−sin⁡(2x)\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(x)+sin⁡(2x)=sin⁡(x)+sin⁡(2x)\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sin2x+sinx
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