Gráfico de la función y = log(x/(x-1))-2*x

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          /  x  \      
f(x) = log|-----| - 2*x
          \x - 1/

f{\left(x \right)} = - 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}

f = -2*x + log(x/(x - 1))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 1

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica

x_{1} = -0.530045159946605

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x/(x - 1)) - 2*x.

\log{\left(\frac{0}{-1} \right)} - 0

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}

signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right)}{x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 1

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/(x - 1)) - 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = -2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = - 2 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}{x}\right) = -2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = - 2 x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = 2 x + \log{\left(- \frac{x}{- x - 1} \right)}

- No

- 2 x + \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)} = - 2 x - \log{\left(- \frac{x}{- x - 1} \right)}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico