Sr Examen

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log(x)*sin(log(x))-cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2+cos(log(x))+sin(log(x))
Trazado el gráfico de la función/ log(x)*sin(log(x))-cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2+cos(log(x))+sin(log(x))

Gráfico de la función y = log(x)*sin(log(x))-cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2+cos(log(x))+sin(log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                           /     1      \                            
                            cos(log(x))*log|------------|                            
                                           |   2        |                            
                                           \cos (log(x))/                            
f(x) = log(x)*sin(log(x)) - ----------------------------- + cos(log(x)) + sin(log(x))
                                          2
f(x)=((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = \left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} 
f = -log(cos(log(x))^(-2))*cos(log(x))/2 + log(x)*sin(log(x)) + cos(log(x)) + sin(log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4.81047738096535x_{1} = 4.81047738096535
x2=111.317778489856x_{2} = 111.317778489856
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))=0\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=466.587493334667x_{1} = 466.587493334667
x2=18.1322621284307x_{2} = 18.1322621284307
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)*sin(log(x)) - cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2 + cos(log(x)) + sin(log(x)).
((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(0)))cos⁡(log⁡(0))2+log⁡(0)sin⁡(log⁡(0)))+cos⁡(log⁡(0)))+sin⁡(log⁡(0))\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}}{2} + \log{\left(0 \right)} \sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x)cos⁡(log⁡(x))x+log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))sin⁡(log⁡(x))2x−sin⁡(log⁡(x))x+cos⁡(log⁡(x))x=0\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2911.16466474713x_{1} = 2911.16466474713
x2=129.483739348846x_{2} = 129.483739348846
x3=66149.8049393155x_{3} = 66149.8049393155
x4=5.91592293341096x_{4} = 5.91592293341096
Signos de extremos en los puntos:
(2911.164664747131, 9.04388994280399)

(129.48373934884634, -5.93119398278953)

(66149.8049393155, -12.1655392407456)

(5.915922933410962, 2.83814987604985)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x4=5.91592293341096x_{4} = 5.91592293341096
Decrece en los intervalos
(−∞,5.91592293341096]\left(-\infty, 5.91592293341096\right]
Crece en los intervalos
[5.91592293341096,∞)\left[5.91592293341096, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4.81047738096535x_{1} = 4.81047738096535
x2=111.317778489856x_{2} = 111.317778489856
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x)))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x)))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*sin(log(x)) - cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2 + cos(log(x)) + sin(log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))=log⁡(−x)sin⁡(log⁡(−x))−log⁡(1cos⁡2(log⁡(−x)))cos⁡(log⁡(−x))2+sin⁡(log⁡(−x))+cos⁡(log⁡(−x))\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- x \right)} \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}}{2} + \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
((−log⁡(1cos⁡2(log⁡(x)))cos⁡(log⁡(x))2+log⁡(x)sin⁡(log⁡(x)))+cos⁡(log⁡(x)))+sin⁡(log⁡(x))=−log⁡(−x)sin⁡(log⁡(−x))+log⁡(1cos⁡2(log⁡(−x)))cos⁡(log⁡(−x))2−sin⁡(log⁡(−x))−cos⁡(log⁡(−x))\left(\left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- x \right)} \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} + \frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}} \right)} \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}}{2} - \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(x)*sin(log(x))-cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2+cos(log(x))+sin(log(x))
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