Sr Examen

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x^sin(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ x^sin(2*x)

Gráfico de la función y = x^sin(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        sin(2*x)
f(x) = x
f(x)=xsin⁡(2x)f{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(2 x \right)}} 
f = x^sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xsin⁡(2x)=0x^{\sin{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^sin(2*x).
0sin⁡(0⋅2)0^{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xsin⁡(2x)(2log⁡(x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)x)=0x^{\sin{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=77.755156701807x_{1} = 77.755156701807
x2=90.321403416883x_{2} = 90.321403416883
x3=18.0689381825286x_{3} = 18.0689381825286
x4=11.789566393009x_{4} = 11.789566393009
x5=93.4629709355083x_{5} = 93.4629709355083
x6=52.6228756848429x_{6} = 52.6228756848429
x7=2.46662246182406x_{7} = 2.46662246182406
x8=99.7461113017511x_{8} = 99.7461113017511
x9=47.9106365276308x_{9} = 47.9106365276308
x10=43.1984357710165x_{10} = 43.1984357710165
x11=30.6329132105271x_{11} = 30.6329132105271
x12=3.97248841332099x_{12} = 3.97248841332099
x13=5.524240624726x_{13} = 5.524240624726
x14=96.6045402936603x_{14} = 96.6045402936603
x15=71.4720521749762x_{15} = 71.4720521749762
x16=68.3305063083065x_{16} = 68.3305063083065
x17=21.2096093255355x_{17} = 21.2096093255355
x18=58.9059034991082x_{18} = 58.9059034991082
x19=87.1798379569955x_{19} = 87.1798379569955
x20=10.2206977223401x_{20} = 10.2206977223401
x21=49.4813792496946x_{21} = 49.4813792496946
x22=40.0569975446324x_{22} = 40.0569975446324
x23=74.6136025037316x_{23} = 74.6136025037316
x24=62.0474309910149x_{24} = 62.0474309910149
x25=98.1753256022933x_{25} = 98.1753256022933
x26=14.9287595367661x_{26} = 14.9287595367661
x27=84.0382748106232x_{27} = 84.0382748106232
x28=54.1936286925819x_{28} = 54.1936286925819
x29=33.7742240619455x_{29} = 33.7742240619455
x30=36.9155903384777x_{30} = 36.9155903384777
x31=80.8967142755302x_{31} = 80.8967142755302
x32=46.3398980273589x_{32} = 46.3398980273589
x33=65.1889656213886x_{33} = 65.1889656213886
x34=55.7643844954788x_{34} = 55.7643844954788
x35=8.65276590100135x_{35} = 8.65276590100135
x36=24.3505588482616x_{36} = 24.3505588482616
x37=76.1843791520252x_{37} = 76.1843791520252
x38=25.9211023317763x_{38} = 25.9211023317763
x39=32.2035605555116x_{39} = 32.2035605555116
x40=27.491679801302x_{40} = 27.491679801302
Signos de extremos en los puntos:
(77.75515670180697, 0.0128609444243923)

(90.32140341688302, 0.0110716105442619)

(18.06893818252863, 0.0553509163927453)

(11.789566393008972, 0.0848516782174335)

(93.4629709355083, 0.010699458230378)

(52.622875684842924, 0.0190033588417633)

(2.4666224618240604, 0.414401553329934)

(99.74611130175111, 0.0100254808596889)

(47.910636527630835, 47.9099622542261)

(43.19843577101647, 0.0231493981144768)

(30.632913210527114, 0.0326458969014374)

(3.9724884133209946, 3.94988265171344)

(5.524240624725996, 0.181453786494365)

(96.6045402936603, 0.0103515106789506)

(71.47205217497621, 0.0139915631527335)

(68.3305063083065, 0.0146348445455123)

(21.209609325535506, 0.0471527295677047)

(58.90590349910825, 0.0169763772189338)

(87.17983795699548, 0.0114705843053815)

(10.220697722340134, 10.2154392470856)

(49.48137924969459, 0.0202098870422604)

(40.05699754463239, 0.0249649542272715)

(74.61360250373158, 0.0134024517400322)

(62.047430991014885, 0.0161168294909734)

(98.17532560229327, 98.1750480140222)

(14.92875953676608, 0.0669986995367018)

(84.03827481062316, 0.0118993874687826)

(54.19362869258188, 54.1930509878675)

(33.774224061945475, 0.02960930004377)

(36.91559033847767, 0.0270895144638451)

(80.89671427553016, 0.0123614952320643)

(46.33989802735888, 0.0215800037833887)

(65.1889656213886, 0.0153401274587999)

(55.76438449547882, 0.0179327720649857)

(8.65276590100135, 0.115659385147572)

(24.35055884826164, 0.0410695310223569)

(76.18437915202516, 76.1840005020917)

(25.921102331776293, 25.9196209259556)

(32.203560555511636, 32.2024426561214)

(27.491679801302, 0.0363764569991257)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=77.755156701807x_{1} = 77.755156701807
x2=90.321403416883x_{2} = 90.321403416883
x3=18.0689381825286x_{3} = 18.0689381825286
x4=11.789566393009x_{4} = 11.789566393009
x5=93.4629709355083x_{5} = 93.4629709355083
x6=52.6228756848429x_{6} = 52.6228756848429
x7=2.46662246182406x_{7} = 2.46662246182406
x8=99.7461113017511x_{8} = 99.7461113017511
x9=43.1984357710165x_{9} = 43.1984357710165
x10=30.6329132105271x_{10} = 30.6329132105271
x11=5.524240624726x_{11} = 5.524240624726
x12=96.6045402936603x_{12} = 96.6045402936603
x13=71.4720521749762x_{13} = 71.4720521749762
x14=68.3305063083065x_{14} = 68.3305063083065
x15=21.2096093255355x_{15} = 21.2096093255355
x16=58.9059034991082x_{16} = 58.9059034991082
x17=87.1798379569955x_{17} = 87.1798379569955
x18=49.4813792496946x_{18} = 49.4813792496946
x19=40.0569975446324x_{19} = 40.0569975446324
x20=74.6136025037316x_{20} = 74.6136025037316
x21=62.0474309910149x_{21} = 62.0474309910149
x22=14.9287595367661x_{22} = 14.9287595367661
x23=84.0382748106232x_{23} = 84.0382748106232
x24=33.7742240619455x_{24} = 33.7742240619455
x25=36.9155903384777x_{25} = 36.9155903384777
x26=80.8967142755302x_{26} = 80.8967142755302
x27=46.3398980273589x_{27} = 46.3398980273589
x28=65.1889656213886x_{28} = 65.1889656213886
x29=55.7643844954788x_{29} = 55.7643844954788
x30=8.65276590100135x_{30} = 8.65276590100135
x31=24.3505588482616x_{31} = 24.3505588482616
x32=27.491679801302x_{32} = 27.491679801302
Puntos máximos de la función:
x32=47.9106365276308x_{32} = 47.9106365276308
x32=3.97248841332099x_{32} = 3.97248841332099
x32=10.2206977223401x_{32} = 10.2206977223401
x32=98.1753256022933x_{32} = 98.1753256022933
x32=54.1936286925819x_{32} = 54.1936286925819
x32=76.1843791520252x_{32} = 76.1843791520252
x32=25.9211023317763x_{32} = 25.9211023317763
x32=32.2035605555116x_{32} = 32.2035605555116
Decrece en los intervalos
[99.7461113017511,∞)\left[99.7461113017511, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.46662246182406]\left(-\infty, 2.46662246182406\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xsin⁡(2x)((2log⁡(x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)x)2−4log⁡(x)sin⁡(2x)+4cos⁡(2x)x−sin⁡(2x)x2)=0x^{\sin{\left(2 x \right)}} \left(\left(2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)^{2} - 4 \log{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=75.9490319450132x_{1} = 75.9490319450132
x2=92.1228191036958x_{2} = 92.1228191036958
x3=31.9420909721638x_{3} = 31.9420909721638
x4=26.1907173100895x_{4} = 26.1907173100895
x5=82.2341792168126x_{5} = 82.2341792168126
x6=48.1590649771957x_{6} = 48.1590649771957
x7=9.90613632187598x_{7} = 9.90613632187598
x8=60.2350831283431x_{8} = 60.2350831283431
x9=53.94890548617x_{9} = 53.94890548617
x10=4.36604868176109x_{10} = 4.36604868176109
x11=97.9463035705143x_{11} = 97.9463035705143
x12=70.1389090309891x_{12} = 70.1389090309891
x13=38.23092997138x_{13} = 38.23092997138
x14=16.2098421242771x_{14} = 16.2098421242771

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[92.1228191036958,∞)\left[92.1228191036958, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.36604868176109]\left(-\infty, 4.36604868176109\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xsin⁡(2x)=(−∞)⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} x^{\sin{\left(2 x \right)}} = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)⟨−1,1⟩y = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
lim⁡x→∞xsin⁡(2x)=∞⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} x^{\sin{\left(2 x \right)}} = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞⟨−1,1⟩y = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xsin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\sin{\left(2 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(xsin⁡(2x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\sin{\left(2 x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xsin⁡(2x)=(−x)−sin⁡(2x)x^{\sin{\left(2 x \right)}} = \left(- x\right)^{- \sin{\left(2 x \right)}}
- No
xsin⁡(2x)=−(−x)−sin⁡(2x)x^{\sin{\left(2 x \right)}} = - \left(- x\right)^{- \sin{\left(2 x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^sin(2*x)
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