Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x/(x*x+1))

Gráfico de la función y = arcsin(x/(x*x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   x   \
f(x) = asin|-------|
           \x*x + 1/
f(x)=asin⁡(xxx+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} 
f = asin(x/(x*x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(xxx+1)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x/(x*x + 1)).
asin⁡(00⋅0+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{0}{0 \cdot 0 + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x2(xx+1)2+1xx+1−x2(xx+1)2+1=0\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x x + 1}}{\sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x x + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
     -pi  
(-1, ----)
      6   

    pi 
(1, --)
    6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(8x2x2+1−6+(2x2x2+1−1)2(x2+1)(−x2(x2+1)2+1))(x2+1)2−x2(x2+1)2+1=0\frac{x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} - 6 + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−1.69014155503982x_{2} = -1.69014155503982
x3=1.69014155503982x_{3} = 1.69014155503982

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.69014155503982,0]∪[1.69014155503982,∞)\left[-1.69014155503982, 0\right] \cup \left[1.69014155503982, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.69014155503982]∪[0,1.69014155503982]\left(-\infty, -1.69014155503982\right] \cup \left[0, 1.69014155503982\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(xxx+1)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞asin⁡(xxx+1)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x/(x*x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(xxx+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(xxx+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(xxx+1)=−asin⁡(xx2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
asin⁡(xxx+1)=asin⁡(xx2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x x + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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