Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} - 6 + \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.69014155503982$$
$$x_{3} = 1.69014155503982$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.69014155503982, 0\right] \cup \left[1.69014155503982, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.69014155503982\right] \cup \left[0, 1.69014155503982\right]$$