Sr Examen

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Gráfico de la función y = (sqrt(x)-1)/(sqrt(x^2-x)-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ___       
          \/ x  - 1   
f(x) = ---------------
          ________    
         /  2         
       \/  x  - x  - 2
f(x)=x1x2x2f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2}
f = (sqrt(x) - 1)/(sqrt(x^2 - x) - 2)
Gráfico de la función
5.01.01.52.02.53.03.54.04.5-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.56155281280883x_{1} = -1.56155281280883
x2=2.56155281280883x_{2} = 2.56155281280883
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x1x2x2=0\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(x) - 1)/(sqrt(x^2 - x) - 2).
1+02+020\frac{-1 + \sqrt{0}}{-2 + \sqrt{0^{2} - 0}}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x1)(x12)x2x(x2x2)2+12x(x2x2)=0- \frac{\left(\sqrt{x} - 1\right) \left(x - \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} \left(\sqrt{x^{2} - x} - 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x^{2} - x} - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.56155281280883x_{1} = -1.56155281280883
x2=2.56155281280883x_{2} = 2.56155281280883
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x1x2x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(x1x2x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(x) - 1)/(sqrt(x^2 - x) - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x1x(x2x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x \left(\sqrt{x^{2} - x} - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(x1x(x2x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 1}{x \left(\sqrt{x^{2} - x} - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x1x2x2=x1x2+x2\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2} = \frac{\sqrt{- x} - 1}{\sqrt{x^{2} + x} - 2}
- No
x1x2x2=x1x2+x2\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x^{2} - x} - 2} = - \frac{\sqrt{- x} - 1}{\sqrt{x^{2} + x} - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar