Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3/(sqrt(x)+sqrt(x-3))+sqrt(x-3)

Gráfico de la función y = 3/(sqrt(x)+sqrt(x-3))+sqrt(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               3             _______
f(x) = ----------------- + \/ x - 3 
         ___     _______            
       \/ x  + \/ x - 3
f(x)=x−3+3x+x−3f{\left(x \right)} = \sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}} 
f = sqrt(x - 3) + 3/(sqrt(x) + sqrt(x - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−3+3x+x−3=0\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3/(sqrt(x) + sqrt(x - 3)) + sqrt(x - 3).
30+−3+−3\frac{3}{\sqrt{0} + \sqrt{-3}} + \sqrt{-3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x−3+3(−12x−3−12x)(x+x−3)2=0\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} + \frac{3 \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x−3)32+3(1(x−3)32+1x32)(x+x−3)2+6(1x−3+1x)2(x+x−3)34=0\frac{- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}\right)^{2}} + \frac{6 \left(\frac{1}{\sqrt{x - 3}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}\right)^{3}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−3+3x+x−3)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−3+3x+x−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/(sqrt(x) + sqrt(x - 3)) + sqrt(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−3+3x+x−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−3+3x+x−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−3+3x+x−3=−x−3+3−x+−x−3\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}} = \sqrt{- x - 3} + \frac{3}{\sqrt{- x} + \sqrt{- x - 3}}
- No
x−3+3x+x−3=−−x−3−3−x+−x−3\sqrt{x - 3} + \frac{3}{\sqrt{x} + \sqrt{x - 3}} = - \sqrt{- x - 3} - \frac{3}{\sqrt{- x} + \sqrt{- x - 3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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