Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(x)-1/x

Gráfico de la función y = exp(x)-1/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x   1
f(x) = e  - -
            x
f(x)=ex−1xf{\left(x \right)} = e^{x} - \frac{1}{x} 
f = exp(x) - 1/x
Gráfico de la función
0.501.500.600.700.800.901.001.101.201.301.405-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−1x=0e^{x} - \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(1)x_{1} = W\left(1\right)
Solución numérica
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x) - 1/x.
−10+e0- \frac{1}{0} + e^{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+1x2=0e^{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
ex−2x3=0e^{x} - \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3W(233)x_{1} = 3 W\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(ex−2x3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(e^{x} - \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(ex−2x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - \frac{2}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3W(233),∞)\left[3 W\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right), \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3W(233)]\left(-\infty, 3 W\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} - \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - \frac{1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x) - 1/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex−1xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−1x=e−x+1xe^{x} - \frac{1}{x} = e^{- x} + \frac{1}{x}
- No
ex−1x=−e−x−1xe^{x} - \frac{1}{x} = - e^{- x} - \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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